1.11设A= [ } 1& 2 -1& 0

考查要点：本题主要考查矩阵的逆运算，包括2×2矩阵的逆、分块矩阵的逆，以及矩阵乘法的逆运算性质。

解题思路：

1. 矩阵逆的计算：对于2×2矩阵，利用行列式和伴随矩阵求逆；注意行列式不为零时矩阵可逆。
2. 分块矩阵的逆：若分块矩阵为对角分块且各子块可逆，则其逆矩阵由各子块的逆矩阵构成。
3. 矩阵乘法的逆：利用性质 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，避免直接计算 $AB$ 再求逆。

关键点：

• 行列式计算：确保行列式非零，矩阵可逆。
• 分块矩阵结构：分块对角矩阵的逆保持分块对角结构。

(1) 求 $A^{-1}$、$B^{-1}$、$(AB)^{-1}$

求 $A^{-1}$

矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$：

1. 计算行列式：$\det(A) = (1)(0) - (2)(-1) = 2$。
2. 伴随矩阵：$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
3. 求逆：$A^{-1} = \frac{1}{2} \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$。

求 $B^{-1}$

矩阵 $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$：

1. 计算行列式：$\det(B) = (2)(1) - (1)(0) = 2$。
2. 伴随矩阵：$\text{adj}(B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。
3. 求逆：$B^{-1} = \frac{1}{2} \text{adj}(B) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。

求 $(AB)^{-1}$

利用性质 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$：

1. 计算 $B^{-1}A^{-1}$：
   $B^{-1}A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$

(2) 求分块矩阵 $C^{-1}$

矩阵 $C = \begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}$：

1. 分块对角矩阵的逆：若 $A$ 和 $B$ 可逆，则 $C^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}$。
2. 构造 $C^{-1}$：
   $C^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$