题目
1.3节随堂练习2:任意复数z的n次方根有n个不同的值 A. XB. sqrt
1.3节随堂练习2:任意复数z的n次方根有n个不同的值
- A. X
- B. $$ \sqrt $$
题目解答
答案
A
解析
步骤 1：理解复数的n次方根
复数的n次方根是指满足方程 \(w^n = z\) 的所有复数 \(w\)，其中 \(z\) 是给定的复数，\(n\) 是正整数。根据代数学基本定理，这个方程在复数域内有且仅有n个根。
步骤 2：复数的极坐标表示
复数 \(z\) 可以表示为 \(z = re^{i\theta}\)，其中 \(r\) 是 \(z\) 的模，\(\theta\) 是 \(z\) 的幅角。对于任意复数 \(z\)，其n次方根可以表示为 \(w_k = r^{1/n}e^{i(\theta + 2k\pi)/n}\)，其中 \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)。
步骤 3：验证n个不同的值
由于 \(w_k\) 中的 \(k\) 取值为 \(0, 1, 2, ..., n-1\)，每个 \(k\) 对应一个不同的 \(w_k\)，因此 \(z\) 的n次方根有n个不同的值。这是因为对于不同的 \(k\)，\(w_k\) 的幅角 \((\theta + 2k\pi)/n\) 是不同的，从而 \(w_k\) 也是不同的。
复数的n次方根是指满足方程 \(w^n = z\) 的所有复数 \(w\)，其中 \(z\) 是给定的复数，\(n\) 是正整数。根据代数学基本定理，这个方程在复数域内有且仅有n个根。
步骤 2：复数的极坐标表示
复数 \(z\) 可以表示为 \(z = re^{i\theta}\)，其中 \(r\) 是 \(z\) 的模，\(\theta\) 是 \(z\) 的幅角。对于任意复数 \(z\)，其n次方根可以表示为 \(w_k = r^{1/n}e^{i(\theta + 2k\pi)/n}\)，其中 \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)。
步骤 3：验证n个不同的值
由于 \(w_k\) 中的 \(k\) 取值为 \(0, 1, 2, ..., n-1\)，每个 \(k\) 对应一个不同的 \(w_k\)，因此 \(z\) 的n次方根有n个不同的值。这是因为对于不同的 \(k\)，\(w_k\) 的幅角 \((\theta + 2k\pi)/n\) 是不同的，从而 \(w_k\) 也是不同的。