题目
根据函数极限的定义证明： (1) lim _(xarrow 3)(3x-1)=8;(1) lim _(xarrow 3)(3x-1)=8; (1) lim _(xarrow 3)(3x-1)=8;(1) lim _(xarrow 3)(3x-1)=8;
根据函数极限的定义证明：
题目解答
答案
解析
(1) $\lim _{x\rightarrow 3}(3x-1)=8$ ;
步骤 1：计算差值
$|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|$
步骤 2：确定 $\varepsilon$ 与 $\delta$ 的关系
要使 $|(3x-1)-8|\lt \varepsilon$ ,只要 $|x-3|\lt \dfrac {\varepsilon }{3}$
步骤 3：选择 $\delta$
取 $\delta =\dfrac {\varepsilon }{3}$ ,则当 $0\lt |x-3|\lt \delta $ 时,就有 $|(3x-1)-8|\lt \varepsilon $ ,即 $\lim _{x\rightarrow 3}(3x-1)=8$.
(2) $\lim _{x\rightarrow 2}(5x+2)=12$ ;
步骤 1：计算差值
$|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|$
步骤 2：确定 $\varepsilon$ 与 $\delta$ 的关系
要使 $|(5x+2)-12|\lt \varepsilon $ ,只要 $|x-2|\lt \dfrac {\varepsilon }{5}$
步骤 3：选择 $\delta$
取 $\delta =\dfrac {\varepsilon }{5}$ ,则当 $0\lt |x-2|\lt \delta $ 时,就有 $|(5x+2)-12|\lt \varepsilon $ ,即 $\lim _{x\rightarrow 2}(5x+2)=12$.
(3) $\lim _{x\rightarrow -2}\dfrac {{x}^{2}-4}{x+2}=-4$ ;
步骤 1：计算差值
$|\dfrac {{x}^{2}-4}{x+2}-(-4)|=|x-2-(-4)|=|x+2|$
步骤 2：确定 $\varepsilon$ 与 $\delta$ 的关系
要使 $|\dfrac {{x}^{2}-4}{x+2}-(-4)|\lt \varepsilon $ ,只要 $|x-(-2)|\lt \varepsilon $
步骤 3：选择 $\delta$
取 $\delta =\varepsilon $ ,则当 $0\lt |x-(-2)|\lt \delta $ 时,就有 $|\dfrac {{x}^{2}-4}{x+2}-(-4)|\lt \varepsilon $ ,即 $\lim _{x\rightarrow -2}\dfrac {{x}^{2}-4}{x+2}=-4$.
(4) $\lim _{x\rightarrow -\dfrac {1}{2}}\dfrac {1-4{x}^{2}}{2x+1}=2$ ;
步骤 1：计算差值
$|\dfrac {1-4{x}^{2}}{2x+1}-2|=|1-2x-2|=2|x-(-\dfrac {1}{2})|$
步骤 2：确定 $\varepsilon$ 与 $\delta$ 的关系
要使 $|\dfrac {1-4{x}^{2}}{2x+1}-2|\lt \varepsilon $ ,只要 $|x-(-\dfrac {1}{2})|\lt \dfrac {\varepsilon }{2}$
步骤 3：选择 $\delta$
取 $\delta =\dfrac {\varepsilon }{2}$ ,则当 $0\lt |x-(-\dfrac {1}{2})|\lt \delta $ 时,就有 $|\dfrac {1-4{x}^{2}}{2x+1}-2|\lt \varepsilon $ ,即 $\lim _{x\rightarrow -\dfrac {1}{2}}\dfrac {1-4{x}^{2}}{2x+1}=2$.
步骤 1：计算差值
$|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|$
步骤 2：确定 $\varepsilon$ 与 $\delta$ 的关系
要使 $|(3x-1)-8|\lt \varepsilon$ ,只要 $|x-3|\lt \dfrac {\varepsilon }{3}$
步骤 3：选择 $\delta$
取 $\delta =\dfrac {\varepsilon }{3}$ ,则当 $0\lt |x-3|\lt \delta $ 时,就有 $|(3x-1)-8|\lt \varepsilon $ ,即 $\lim _{x\rightarrow 3}(3x-1)=8$.
(2) $\lim _{x\rightarrow 2}(5x+2)=12$ ;
步骤 1：计算差值
$|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|$
步骤 2：确定 $\varepsilon$ 与 $\delta$ 的关系
要使 $|(5x+2)-12|\lt \varepsilon $ ,只要 $|x-2|\lt \dfrac {\varepsilon }{5}$
步骤 3：选择 $\delta$
取 $\delta =\dfrac {\varepsilon }{5}$ ,则当 $0\lt |x-2|\lt \delta $ 时,就有 $|(5x+2)-12|\lt \varepsilon $ ,即 $\lim _{x\rightarrow 2}(5x+2)=12$.
(3) $\lim _{x\rightarrow -2}\dfrac {{x}^{2}-4}{x+2}=-4$ ;
步骤 1：计算差值
$|\dfrac {{x}^{2}-4}{x+2}-(-4)|=|x-2-(-4)|=|x+2|$
步骤 2：确定 $\varepsilon$ 与 $\delta$ 的关系
要使 $|\dfrac {{x}^{2}-4}{x+2}-(-4)|\lt \varepsilon $ ,只要 $|x-(-2)|\lt \varepsilon $
步骤 3：选择 $\delta$
取 $\delta =\varepsilon $ ,则当 $0\lt |x-(-2)|\lt \delta $ 时,就有 $|\dfrac {{x}^{2}-4}{x+2}-(-4)|\lt \varepsilon $ ,即 $\lim _{x\rightarrow -2}\dfrac {{x}^{2}-4}{x+2}=-4$.
(4) $\lim _{x\rightarrow -\dfrac {1}{2}}\dfrac {1-4{x}^{2}}{2x+1}=2$ ;
步骤 1：计算差值
$|\dfrac {1-4{x}^{2}}{2x+1}-2|=|1-2x-2|=2|x-(-\dfrac {1}{2})|$
步骤 2：确定 $\varepsilon$ 与 $\delta$ 的关系
要使 $|\dfrac {1-4{x}^{2}}{2x+1}-2|\lt \varepsilon $ ,只要 $|x-(-\dfrac {1}{2})|\lt \dfrac {\varepsilon }{2}$
步骤 3：选择 $\delta$
取 $\delta =\dfrac {\varepsilon }{2}$ ,则当 $0\lt |x-(-\dfrac {1}{2})|\lt \delta $ 时,就有 $|\dfrac {1-4{x}^{2}}{2x+1}-2|\lt \varepsilon $ ,即 $\lim _{x\rightarrow -\dfrac {1}{2}}\dfrac {1-4{x}^{2}}{2x+1}=2$.