题目
21. 函数 f(z)=u+iv 是一个解析函数，且 u+v=x^3-y^3+3x^2y-3xy^2-2x-2y，求 f(z)=u+iv.
21. 函数 $f(z)=u+iv$ 是一个解析函数，且 $u+v=x^{3}-y^{3}+3x^{2}y-3xy^{2}-2x-2y$，求 $f(z)=u+iv$.
题目解答
答案
已知 $ u + v = x^3 - y^3 + 3x^2y - 3xy^2 - 2x - 2y $，利用柯西-黎曼方程求解。
对 $ u + v $ 求偏导：
\[
\frac{\partial (u + v)}{\partial x} = 3x^2 + 6xy - 3y^2 - 2, \quad \frac{\partial (u + v)}{\partial y} = -3y^2 + 3x^2 - 6xy - 2
\]
由柯西-黎曼方程得：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2 - 2, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -6xy
\]
积分求 $ u $：
\[
u = x^3 - 3xy^2 - 2x + C
\]
求 $ v $：
\[
v = -y^3 + 3x^2y - 2y - C
\]
或直接求 $ f'(z) $：
\[
f'(z) = 3z^2 - 2 \quad \Rightarrow \quad f(z) = z^3 - 2z + C
\]
其中 $ C $ 为复常数。
**答案：**
\[
\boxed{f(z) = z^3 - 2z + (1 - i)C}
\]
（$ C $ 为任意实常数）