1.设 (x,y,z)=dfrac (z)({x)^2+(y)^2}, 则 df(1,2,1)= __

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $f(x,y,z)=\dfrac {z}{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 在点 $(1,2,1)$ 处的偏导数。偏导数分别对 $x$、$y$ 和 $z$ 求导。
- 对 $x$ 求偏导数：$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{-2xz}{(x^2+y^2)^2}$
- 对 $y$ 求偏导数：$\dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{-2yz}{(x^2+y^2)^2}$
- 对 $z$ 求偏导数：$\dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{1}{x^2+y^2}$

步骤 2：代入点 $(1,2,1)$
将点 $(1,2,1)$ 代入上述偏导数中，得到：
- $\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,2,1) = \dfrac{-2 \cdot 1 \cdot 1}{(1^2+2^2)^2} = \dfrac{-2}{25}$
- $\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,2,1) = \dfrac{-2 \cdot 2 \cdot 1}{(1^2+2^2)^2} = \dfrac{-4}{25}$
- $\dfrac{\partial f}{\partial z}(1,2,1) = \dfrac{1}{1^2+2^2} = \dfrac{1}{5}$

步骤 3：计算全微分
全微分 $df$ 可以表示为：
$df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy + \dfrac{\partial f}{\partial z}dz$
代入偏导数的值，得到：
$df(1,2,1) = \dfrac{-2}{25}dx + \dfrac{-4}{25}dy + \dfrac{1}{5}dz$
化简得到：
$df(1,2,1) = \dfrac{1}{25}(-2dx-4dy+5dz)$