设 in N. 求证: https:/img.zuoyebang.cc/zyb_bce9089e40d955396cab9e44fd685858.jpg.4 (3)^|m+2+(5)^2n+1

考查要点：本题主要考查数的整除性证明，涉及模运算的应用，特别是对14的因数分解（2和7）的处理，以及利用因式分解或构造多项式的方法证明整除性。

解题核心思路：

1. 分解模数：将14分解为互质的2和7，分别证明表达式能被2和7整除，再结合中国剩余定理。
2. 构造多项式：通过构造特定形式的多项式，利用因式定理证明其可被某个因子整除，进而推导出原式被14整除。

破题关键点：

• 模2分析：奇数的奇次方和奇数的奇次方之和为偶数，直接被2整除。
• 模7分析：通过计算3和5的幂次模7的周期性，找到满足条件的指数关系。
• 因式分解技巧：构造多项式$f(x) = (x-5)^{2n+1} + 5^{2n-1}$，利用$x=0$时$f(0)=0$，说明$x$是因式，进而代入$x=14$得到原式被14整除。

题目修正说明：
原题可能存在排版错误，根据答案推断，正确命题应为：
证明：对任意自然数$n$，$14$整除$3^{3n-2} + 5^{2n-1}$。

证明过程：

1. 构造多项式：
   定义函数$f(x) = (x-5)^{2n-1} + 5^{2n-1}$。

   • 当$x=5$时，$f(5) = 0 + 5^{2n-1} = 5^{2n-1}$，但此处需修正为$x=0$时$f(0) = (-5)^{2n-1} + 5^{2n-1} = -5^{2n-1} + 5^{2n-1} = 0$，故$x$是$f(x)$的因式。

2. 代入$x=14$：
   由$f(x)$可被$x$整除，特别地，$f(14)$可被$14$整除。

   • 计算$f(14) = (14-5)^{2n-1} + 5^{2n-1} = 9^{2n-1} + 5^{2n-1}$。
   • 由于$9 = 3^2$，故$9^{2n-1} = 3^{4n-2} = 3^{3n-2} \cdot 3^{n}$，但此处需修正为直接表达为$3^{4n-2}$，与原题目标式不符，说明题目可能存在进一步的修正需求。

关键修正：
根据答案推导，原题应为证明$14 \mid 9^{2n+1} + 5^{2n+1}$，即$14 \mid (3^2)^{2n+1} + 5^{2n+1} = 3^{4n+2} + 5^{2n+1}$。此时构造$f(x) = (x-5)^{2n+1} + 5^{2n+1}$，当$x=0$时$f(0)=0$，故$x$是因式，代入$x=14$得$14 \mid 9^{2n+1} + 5^{2n+1}$。