题目
【题目】-|||-计算 iint (e)^-(x^2-{y)^2}dxdy, 其中D为圆域 ^2+(y)^2leqslant 4.
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换坐标系
由于被积函数 ${e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 在直角坐标系中难以积分，我们考虑将其转换到极坐标系中。在极坐标系中，$x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，且 $dxdy = \rho d\rho d\theta$。因此，原积分可以写为：
$$\iint {e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dxdy = \iint {e}^{-{\rho}^{2}}\rho d\rho d\theta$$
步骤 2：确定积分区域
在极坐标系中，圆域 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$ 变为 $0\leqslant \rho \leqslant 2$ 和 $0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$。
步骤 3：计算积分
将积分区域代入，我们得到：
$$\iint {e}^{-{\rho}^{2}}\rho d\rho d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} {e}^{-{\rho}^{2}}\rho d\rho$$
首先计算内层积分：
$$\int_{0}^{2} {e}^{-{\rho}^{2}}\rho d\rho = -\frac{1}{2} {e}^{-{\rho}^{2}} \Big|_{0}^{2} = -\frac{1}{2}({e}^{-4} - 1)$$
然后计算外层积分：
$$\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} {e}^{-{\rho}^{2}}\rho d\rho = \int_{0}^{2\pi} -\frac{1}{2}({e}^{-4} - 1) d\theta = -\frac{1}{2}({e}^{-4} - 1) \int_{0}^{2\pi} d\theta = -\frac{1}{2}({e}^{-4} - 1) \cdot 2\pi$$
由于被积函数 ${e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 在直角坐标系中难以积分，我们考虑将其转换到极坐标系中。在极坐标系中，$x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，且 $dxdy = \rho d\rho d\theta$。因此，原积分可以写为：
$$\iint {e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dxdy = \iint {e}^{-{\rho}^{2}}\rho d\rho d\theta$$
步骤 2：确定积分区域
在极坐标系中，圆域 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$ 变为 $0\leqslant \rho \leqslant 2$ 和 $0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$。
步骤 3：计算积分
将积分区域代入，我们得到：
$$\iint {e}^{-{\rho}^{2}}\rho d\rho d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} {e}^{-{\rho}^{2}}\rho d\rho$$
首先计算内层积分：
$$\int_{0}^{2} {e}^{-{\rho}^{2}}\rho d\rho = -\frac{1}{2} {e}^{-{\rho}^{2}} \Big|_{0}^{2} = -\frac{1}{2}({e}^{-4} - 1)$$
然后计算外层积分：
$$\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} {e}^{-{\rho}^{2}}\rho d\rho = \int_{0}^{2\pi} -\frac{1}{2}({e}^{-4} - 1) d\theta = -\frac{1}{2}({e}^{-4} - 1) \int_{0}^{2\pi} d\theta = -\frac{1}{2}({e}^{-4} - 1) \cdot 2\pi$$