题目
微分方程 '-yln y=0 的通解为 ()
题目解答
答案
\\ln y=Cx
解析
步骤 1：分离变量
首先，我们观察到这是一个可分离变量的微分方程。方程可以写成 $xy' = y\ln y$ 的形式。将方程改写为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y\ln y}{x}$，然后分离变量得到 $\frac{dy}{y\ln y} = \frac{dx}{x}$。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边积分。左边是关于 $y$ 的积分，右边是关于 $x$ 的积分。左边的积分可以通过换元法进行，设 $u = \ln y$，则 $du = \frac{1}{y}dy$，因此 $\int \frac{dy}{y\ln y} = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1 = \ln|\ln y| + C_1$。右边的积分是 $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2$。因此，我们得到 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，其中 $C = C_2 - C_1$ 是新的常数。
步骤 3：求解通解
从 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，我们可以通过指数运算消去对数，得到 $|\ln y| = e^{\ln|x| + C} = e^{\ln|x|}e^C = |x|e^C$。由于 $e^C$ 是一个正数，我们可以将其表示为一个新的常数 $C'$，即 $|\ln y| = C'|x|$。由于 $C'$ 可以是任意正数，我们可以将其扩展为任意非零实数，即 $C$，因此我们得到 $\ln y = Cx$，其中 $C$ 是任意非零实数。
首先，我们观察到这是一个可分离变量的微分方程。方程可以写成 $xy' = y\ln y$ 的形式。将方程改写为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y\ln y}{x}$，然后分离变量得到 $\frac{dy}{y\ln y} = \frac{dx}{x}$。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边积分。左边是关于 $y$ 的积分，右边是关于 $x$ 的积分。左边的积分可以通过换元法进行，设 $u = \ln y$，则 $du = \frac{1}{y}dy$，因此 $\int \frac{dy}{y\ln y} = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1 = \ln|\ln y| + C_1$。右边的积分是 $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2$。因此，我们得到 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，其中 $C = C_2 - C_1$ 是新的常数。
步骤 3：求解通解
从 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，我们可以通过指数运算消去对数，得到 $|\ln y| = e^{\ln|x| + C} = e^{\ln|x|}e^C = |x|e^C$。由于 $e^C$ 是一个正数，我们可以将其表示为一个新的常数 $C'$，即 $|\ln y| = C'|x|$。由于 $C'$ 可以是任意正数，我们可以将其扩展为任意非零实数，即 $C$，因此我们得到 $\ln y = Cx$，其中 $C$ 是任意非零实数。