题目
18．曲线 y=xlnx-x 在 x=e 处的法线方程为 __________．
18．曲线 y=xlnx-x 在 x=e 处的法线方程为 __________．
题目解答
答案
18．【答案】应填 x+y-e=0．
【解析】 先求切线斜率，再由切线及法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程．
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 y=xlnx-x 的导数。根据乘积法则和导数的基本公式，我们有：
\[ y' = (xlnx)' - (x)' = x \cdot \frac{1}{x} + lnx \cdot 1 - 1 = 1 + lnx - 1 = lnx \]
步骤 2：求切线斜率
在 x=e 处，代入 x=e，得到切线斜率：
\[ y'(e) = lne = 1 \]
步骤 3：求法线斜率
由于切线和法线互相垂直，所以法线斜率是切线斜率的负倒数。因此，法线斜率为：
\[ k_{法线} = -\frac{1}{k_{切线}} = -\frac{1}{1} = -1 \]
步骤 4：求法线方程
在 x=e 处，y 的值为：
\[ y(e) = elne - e = e - e = 0 \]
因此，法线方程为：
\[ y - y_1 = k_{法线}(x - x_1) \]
代入 x_1=e, y_1=0, k_{法线}=-1，得到：
\[ y - 0 = -1(x - e) \]
化简得到法线方程：
\[ y = -x + e \]
或者写成一般形式：
\[ x + y - e = 0 \]
首先，我们需要求出函数 y=xlnx-x 的导数。根据乘积法则和导数的基本公式，我们有：
\[ y' = (xlnx)' - (x)' = x \cdot \frac{1}{x} + lnx \cdot 1 - 1 = 1 + lnx - 1 = lnx \]
步骤 2：求切线斜率
在 x=e 处，代入 x=e，得到切线斜率：
\[ y'(e) = lne = 1 \]
步骤 3：求法线斜率
由于切线和法线互相垂直，所以法线斜率是切线斜率的负倒数。因此，法线斜率为：
\[ k_{法线} = -\frac{1}{k_{切线}} = -\frac{1}{1} = -1 \]
步骤 4：求法线方程
在 x=e 处，y 的值为：
\[ y(e) = elne - e = e - e = 0 \]
因此，法线方程为：
\[ y - y_1 = k_{法线}(x - x_1) \]
代入 x_1=e, y_1=0, k_{法线}=-1，得到：
\[ y - 0 = -1(x - e) \]
化简得到法线方程：
\[ y = -x + e \]
或者写成一般形式：
\[ x + y - e = 0 \]