题目
极限lim _((x,y)arrow (0,0))dfrac (xy)(sqrt {2-{e)^xy}-1}=
极限
=
题目解答
答案
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=
=
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=-2
解析
步骤 1：分子分母同乘以分母的共轭表达式
为了消除分母中的根号，我们首先将分子和分母同时乘以分母的共轭表达式，即$\sqrt{2-e^{xy}}+1$。这样可以利用差平方公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$来简化表达式。
步骤 2：化简表达式
分子变为$xy(\sqrt{2-e^{xy}}+1)$，分母变为$(\sqrt{2-e^{xy}}-1)(\sqrt{2-e^{xy}}+1)=2-e^{xy}-1=1-e^{xy}$。因此，原极限变为$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{xy}}+1)}{1-{e}^{xy}}$。
步骤 3：利用指数函数的性质
由于$e^{xy}$在$(x,y)\rightarrow (0,0)$时趋近于$1$，我们可以将$1-e^{xy}$近似为$-xy$，因为$e^{xy}$的泰勒展开式为$1+xy+O((xy)^2)$，其中$O((xy)^2)$表示更高阶的无穷小量。因此，原极限进一步简化为$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{xy}}+1)}{-xy}$。
步骤 4：计算极限
分子中的$xy$与分母中的$-xy$相消，得到$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}-(\sqrt {2-{e}^{xy}}+1)$。当$(x,y)\rightarrow (0,0)$时，$e^{xy}\rightarrow 1$，因此$\sqrt{2-e^{xy}}\rightarrow \sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1$。所以，原极限等于$-(1+1)=-2$。
为了消除分母中的根号，我们首先将分子和分母同时乘以分母的共轭表达式，即$\sqrt{2-e^{xy}}+1$。这样可以利用差平方公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$来简化表达式。
步骤 2：化简表达式
分子变为$xy(\sqrt{2-e^{xy}}+1)$，分母变为$(\sqrt{2-e^{xy}}-1)(\sqrt{2-e^{xy}}+1)=2-e^{xy}-1=1-e^{xy}$。因此，原极限变为$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{xy}}+1)}{1-{e}^{xy}}$。
步骤 3：利用指数函数的性质
由于$e^{xy}$在$(x,y)\rightarrow (0,0)$时趋近于$1$，我们可以将$1-e^{xy}$近似为$-xy$，因为$e^{xy}$的泰勒展开式为$1+xy+O((xy)^2)$，其中$O((xy)^2)$表示更高阶的无穷小量。因此，原极限进一步简化为$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{xy}}+1)}{-xy}$。
步骤 4：计算极限
分子中的$xy$与分母中的$-xy$相消，得到$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}-(\sqrt {2-{e}^{xy}}+1)$。当$(x,y)\rightarrow (0,0)$时，$e^{xy}\rightarrow 1$，因此$\sqrt{2-e^{xy}}\rightarrow \sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1$。所以，原极限等于$-(1+1)=-2$。