题目
若-2π＜x＜-((3π))/(2)，sqrt(1-sinx)+sqrt(1+sinx)的化简结果是( )A. 2cos(x)/(2)B. 2sin(x)/(2)C. -2cos(x)/(2)D. -2sin(x)/(2)
若$-2π＜x＜-\frac{{3π}}{2}$，$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1+sinx}$的化简结果是( )
A. $2cos\frac{x}{2}$
B. $2sin\frac{x}{2}$
C. $-2cos\frac{x}{2}$
D. $-2sin\frac{x}{2}$
A. $2cos\frac{x}{2}$
B. $2sin\frac{x}{2}$
C. $-2cos\frac{x}{2}$
D. $-2sin\frac{x}{2}$
题目解答
答案
由$-2π＜x＜-\frac{3}{2}π$，可得$-π＜\frac{x}{2}＜-\frac{3}{4}π$，
可得$cos\frac{x}{2}＜sin\frac{x}{2}＜0$，
可得$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1+sinx}=|{sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}}|+|{sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}}|=sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}=-2cos\frac{x}{2}$.
故选：$C$.
可得$cos\frac{x}{2}＜sin\frac{x}{2}＜0$，
可得$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1+sinx}=|{sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}}|+|{sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}}|=sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}=-2cos\frac{x}{2}$.
故选：$C$.
解析
步骤 1：确定$\frac{x}{2}$的范围
由$-2π＜x＜-\frac{3π}{2}$，可得$-π＜\frac{x}{2}＜-\frac{3π}{4}$。
步骤 2：确定$sin\frac{x}{2}$和$cos\frac{x}{2}$的符号
在$-π＜\frac{x}{2}＜-\frac{3π}{4}$的范围内，$sin\frac{x}{2}＜0$且$cos\frac{x}{2}＜0$。
步骤 3：化简$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1+sinx}$
利用半角公式，$1-sinx=2cos^2\frac{x}{2}$，$1+sinx=2sin^2\frac{x}{2}$，则$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1+sinx}=\sqrt{2cos^2\frac{x}{2}}+\sqrt{2sin^2\frac{x}{2}}$。
由于$cos\frac{x}{2}＜0$，$sin\frac{x}{2}＜0$，则$\sqrt{2cos^2\frac{x}{2}}=-\sqrt{2}cos\frac{x}{2}$，$\sqrt{2sin^2\frac{x}{2}}=-\sqrt{2}sin\frac{x}{2}$。
因此，$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1+sinx}=-\sqrt{2}cos\frac{x}{2}-\sqrt{2}sin\frac{x}{2}=-2cos\frac{x}{2}$。
由$-2π＜x＜-\frac{3π}{2}$，可得$-π＜\frac{x}{2}＜-\frac{3π}{4}$。
步骤 2：确定$sin\frac{x}{2}$和$cos\frac{x}{2}$的符号
在$-π＜\frac{x}{2}＜-\frac{3π}{4}$的范围内，$sin\frac{x}{2}＜0$且$cos\frac{x}{2}＜0$。
步骤 3：化简$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1+sinx}$
利用半角公式，$1-sinx=2cos^2\frac{x}{2}$，$1+sinx=2sin^2\frac{x}{2}$，则$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1+sinx}=\sqrt{2cos^2\frac{x}{2}}+\sqrt{2sin^2\frac{x}{2}}$。
由于$cos\frac{x}{2}＜0$，$sin\frac{x}{2}＜0$，则$\sqrt{2cos^2\frac{x}{2}}=-\sqrt{2}cos\frac{x}{2}$，$\sqrt{2sin^2\frac{x}{2}}=-\sqrt{2}sin\frac{x}{2}$。
因此，$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1+sinx}=-\sqrt{2}cos\frac{x}{2}-\sqrt{2}sin\frac{x}{2}=-2cos\frac{x}{2}$。