题目
14【简答题】求微分方程 y''+y'-2y=0 的通解.（5.0分）
14【简答题】求微分方程 y''+y'-2y=0 的通解.（5.0分）
题目解答
答案
为了求解微分方程 $ y'' + y' - 2y = 0 $ 的通解，我们首先需要找到该微分方程的特征方程。对于一个二阶线性齐次微分方程 $ ay'' + by' + cy = 0 $，其特征方程为 $ ar^2 + br + c = 0 $。在本例中，$ a = 1 $，$ b = 1 $，$ c = -2 $，所以特征方程为：
\[ r^2 + r - 2 = 0 \]
接下来，我们解这个二次方程。可以将它因式分解为：
\[ (r + 2)(r - 1) = 0 \]
Setting $ r + 2 = 0 $ or $ r - 1 = 0 $ $
解得：
\[ r = -2 \quad \text{或} \quad r = 1 \]
特征方程的根是 $ r_1 = -2 $ 和 $ r_2 = 1 $。对于二阶线性齐次微分方程，如果特征方程有两个不同的实根 $ r_1 $ 和 $ r_2 $，那么微分方程的通解为：
\[ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \]
其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是任意常数。将 $ r_1 = -2 $ 和 $ r_2 = 1 $ 代入，得到通解为：
\[ y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x \]
因此，微分方程 $ y'' + y' - 2y = 0 $ 的通解是：
\[ \boxed{C_1 e^{-2x} + C_2 e^x} \]
解析
步骤 1：确定特征方程
对于微分方程 $y'' + y' - 2y = 0$，其对应的特征方程为 $r^2 + r - 2 = 0$。这是因为微分方程的系数与特征方程的系数相对应，即 $a=1$，$b=1$，$c=-2$。
步骤 2：求解特征方程
解特征方程 $r^2 + r - 2 = 0$，我们可以通过因式分解来求解。方程可以分解为 $(r + 2)(r - 1) = 0$，从而得到两个根 $r_1 = -2$ 和 $r_2 = 1$。
步骤 3：写出通解
根据特征方程的两个根 $r_1 = -2$ 和 $r_2 = 1$，微分方程的通解形式为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。将 $r_1$ 和 $r_2$ 的值代入，得到通解为 $y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x$。
对于微分方程 $y'' + y' - 2y = 0$，其对应的特征方程为 $r^2 + r - 2 = 0$。这是因为微分方程的系数与特征方程的系数相对应，即 $a=1$，$b=1$，$c=-2$。
步骤 2：求解特征方程
解特征方程 $r^2 + r - 2 = 0$，我们可以通过因式分解来求解。方程可以分解为 $(r + 2)(r - 1) = 0$，从而得到两个根 $r_1 = -2$ 和 $r_2 = 1$。
步骤 3：写出通解
根据特征方程的两个根 $r_1 = -2$ 和 $r_2 = 1$，微分方程的通解形式为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。将 $r_1$ 和 $r_2$ 的值代入，得到通解为 $y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x$。