题目
设f（x,y,z）=^2+2(y)^2+3(z)^2+xy+3x-2y-6z,求grad f(0, 0, 0) 及grad f(1, 1, 1)
设f（x,y,z）=
,
求grad f(0, 0, 0) 及grad f(1, 1, 1)
题目解答
答案
三元函数求解梯度首先要求偏导
f（x,y,z）=
偏导数计算如下：
∂f/∂x = 2x + y + 3
∂f/∂y = 4y + x - 2
∂f/∂z = 6z - 6
现在我们分别计算在点 (0, 0, 0) 和 (1, 1, 1) 处的梯度。
在点 (0, 0, 0) 处，代入 x = 0，y = 0，z = 0：
∂f/∂x = 2×(0) + 0 + 3 = 3
∂f/∂y = 4×(0) + 0 - 2 = -2
∂f/∂z = 6×(0) - 6 = -6
因此，在点 (0, 0, 0) 处的梯度为 grad f(0, 0, 0) = (3, -2, -6)。
在点 (1, 1, 1) 处，代入 x = 1，y = 1，z = 1：
∂f/∂x = 2×(1) + (1) + 3 = 6
∂f/∂y = 4×(1) + (1) - 2 = 3
∂f/∂z = 6×(1) - 6 = 0
因此，在点 (1, 1, 1) 处的梯度为 grad f(1, 1, 1) = (6, 3, 0)。
解析
步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数f(x,y,z)的偏导数。给定的函数是f(x,y,z) = ${x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}+xy+3x-2y-6z$。我们分别对x、y、z求偏导数。
- 对x求偏导数：∂f/∂x = 2x + y + 3
- 对y求偏导数：∂f/∂y = 4y + x - 2
- 对z求偏导数：∂f/∂z = 6z - 6
步骤 2：计算在点(0, 0, 0)处的梯度
将x = 0，y = 0，z = 0代入偏导数中，得到：
- ∂f/∂x = 2×(0) + 0 + 3 = 3
- ∂f/∂y = 4×(0) + 0 - 2 = -2
- ∂f/∂z = 6×(0) - 6 = -6
因此，在点(0, 0, 0)处的梯度为grad f(0, 0, 0) = (3, -2, -6)。
步骤 3：计算在点(1, 1, 1)处的梯度
将x = 1，y = 1，z = 1代入偏导数中，得到：
- ∂f/∂x = 2×(1) + (1) + 3 = 6
- ∂f/∂y = 4×(1) + (1) - 2 = 3
- ∂f/∂z = 6×(1) - 6 = 0
因此，在点(1, 1, 1)处的梯度为grad f(1, 1, 1) = (6, 3, 0)。
首先，我们需要计算函数f(x,y,z)的偏导数。给定的函数是f(x,y,z) = ${x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}+xy+3x-2y-6z$。我们分别对x、y、z求偏导数。
- 对x求偏导数：∂f/∂x = 2x + y + 3
- 对y求偏导数：∂f/∂y = 4y + x - 2
- 对z求偏导数：∂f/∂z = 6z - 6
步骤 2：计算在点(0, 0, 0)处的梯度
将x = 0，y = 0，z = 0代入偏导数中，得到：
- ∂f/∂x = 2×(0) + 0 + 3 = 3
- ∂f/∂y = 4×(0) + 0 - 2 = -2
- ∂f/∂z = 6×(0) - 6 = -6
因此，在点(0, 0, 0)处的梯度为grad f(0, 0, 0) = (3, -2, -6)。
步骤 3：计算在点(1, 1, 1)处的梯度
将x = 1，y = 1，z = 1代入偏导数中，得到：
- ∂f/∂x = 2×(1) + (1) + 3 = 6
- ∂f/∂y = 4×(1) + (1) - 2 = 3
- ∂f/∂z = 6×(1) - 6 = 0
因此，在点(1, 1, 1)处的梯度为grad f(1, 1, 1) = (6, 3, 0)。