设f（x,y,z）=^2+2(y)^2+3(z)^2+xy+3x-2y-6z,求grad f(0, 0, 0) 及grad f(1, 1, 1)

考查要点：本题主要考查三元函数梯度的计算，涉及偏导数的求解及代入特定点的值。

解题核心思路：梯度是向量，由函数对每个变量的偏导数组成。因此，分别对$x$、$y$、$z$求偏导，再将给定点的坐标代入偏导数表达式即可。

破题关键点：

1. 正确求出三个偏导数：注意每一项的导数规则，尤其是交叉项（如$xy$）的处理。
2. 代入点的坐标时避免计算错误：需逐一代入并仔细计算。

步骤1：求偏导数

1. 对$x$求偏导：
   $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y + 3$

   • $x^2$导数为$2x$，$xy$导数为$y$，$3x$导数为$3$，其余项导数为$0$。

2. 对$y$求偏导：
   $\frac{\partial f}{\partial y} = 4y + x - 2$

   • $2y^2$导数为$4y$，$xy$导数为$x$，$-2y$导数为$-2$，其余项导数为$0$。

3. 对$z$求偏导：
   $\frac{\partial f}{\partial z} = 6z - 6$

   • $3z^2$导数为$6z$，$-6z$导数为$-6$，其余项导数为$0$。

步骤2：代入点$(0,0,0)$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2 \cdot 0 + 0 + 3 = 3$
• $\frac{\partial f}{\partial y} = 4 \cdot 0 + 0 - 2 = -2$
• $\frac{\partial f}{\partial z} = 6 \cdot 0 - 6 = -6$

步骤3：代入点$(1,1,1)$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2 \cdot 1 + 1 + 3 = 6$
• $\frac{\partial f}{\partial y} = 4 \cdot 1 + 1 - 2 = 3$
• $\frac{\partial f}{\partial z} = 6 \cdot 1 - 6 = 0$