五.(本题满分20分)计算积分int_(-1)^1dyint_(1+sqrt(1-y^2))^sqrt(2-y^(2))(sqrt(x^2)+y^(2)+sin^3y)dx

为了计算积分$\int_{-1}^{1}dy\int_{1+\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{2-y^{2}}}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sin^{3}y\right)dx$，我们将分步骤进行。 首先，让我们分析积分区域。内积分的极限是$x = 1 + \sqrt{1 - y^2}$和$x = \sqrt{2 - y^2}$。曲线$x = 1 + \sqrt{1 - y^2}$是一个圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$的右半部分，而曲线$x = \sqrt{2 - y^2}$是一个圆$x^2 + y^2 = 2$的右半部分。这两个圆在第一和第四象限相交。 由于被积函数$\sqrt{x^2 + y^2} + \sin^3 y$关于$y$是奇函数（因为$\sin^3 y$是奇函数，而$\sqrt{x^2 + y^2}$是偶函数），$\sin^3 y$关于$y$从$-1$到$1$的积分将为零。因此，我们只需要计算$\sqrt{x^2 + y^2}$的积分。 我们可以将积分重写为： \[ \int_{-1}^{1}dy\int_{1+\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{2-y^{2}}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx. \] 为了简化这个积分，我们可以使用极坐标。在极坐标中，$x = r \cos \theta$和$y = r \sin \theta$，雅可比行列式是$r$。积分区域在极坐标中是圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$和$x^2 + y^2 = 2$之间的区域。 圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$在极坐标中是$r = 2 \cos \theta$，而圆$x^2 + y^2 = 2$在极坐标中是$r = \sqrt{2}$。这两个圆在$\theta = \pm \frac{\pi}{4}$相交。 因此，积分变为： \[ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d\theta \int_{2 \cos \theta}^{\sqrt{2}} r \cdot r \, dr = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d\theta \int_{2 \cos \theta}^{\sqrt{2}} r^2 \, dr. \] 我们可以先计算内积分： \[ \int_{2 \cos \theta}^{\sqrt{2}} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{2 \cos \theta}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^3}{3} - \frac{(2 \cos \theta)^3}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{8 \cos^3 \theta}{3}. \] 现在，我们计算外积分： \[ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{8 \cos^3 \theta}{3} \right) d\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d\theta - \frac{8}{3} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos^3 \theta \, d\theta. \] 第一个积分是： \[ \frac{2\sqrt{2}}{3} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi \sqrt{2}}{3}. \] 第二个积分是： \[ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos^3 \theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^3 \theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos \theta (1 - \sin^2 \theta) \, d\theta. \] 设$u = \sin \theta$，则$du = \cos \theta \, d\theta$，积分变为： \[ 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1 - u^2) \, du = 2 \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{12} \right) = 2 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{12} = \frac{5\sqrt{2}}{6}. \] 因此，外积分是： \[ \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{8}{3} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{6} = \frac{\pi \sqrt{2}}{3} - \frac{40\sqrt{2}}{18} = \frac{\pi \sqrt{2}}{3} - \frac{20\sqrt{2}}{9} = \frac{3\pi \sqrt{2} - 20\sqrt{2}}{9} = \frac{\sqrt{2}(3\pi - 20)}{9}. \] 由于$\sin^3 y$的积分是零，最终答案是： \[ \boxed{\frac{\pi \sqrt{2}}{3} - \frac{20\sqrt{2}}{9}}. \]