27.已知映射 omega =(z)^3, 求:-|||-1)点 _(1)=i, _(2)=1+i, _(3)=sqrt (3)+i 在w平面上的象;-|||-2)区域 lt arccos glt dfrac (pi )(3) 在w平面上的象.
题目解答
答案
【答案】
(1)$-i$，$-2+2i$，$8i$；(2)区域$0\lt arg\omega \lt \mathrm{\pi }$
【解析】
(1)$\because {z}_{1}=i=\cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+i\sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}$，${z}_{2}=1+i=\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+i\sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$，${z}_{3}=\sqrt{3}+i=2\left(\cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}+i\sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$,
$\therefore {z}_{1}^{3}=\cos \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}+i\sin \dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}=-i$,
${z}_{2}^{3}=2\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{3\pi }{4}+i\sin \dfrac{3\pi }{4}\right)$$=-2+2i$,
${z}_{3}^{3}=8\left(\cos \dfrac{3\mathrm{\pi }}{6}+i\sin \dfrac{3\mathrm{\pi }}{6}\right)$$=8i$,
故点${z}_{1}$，${z}_{2}$，${z}_{3}$在$\omega $平面上的象分别为$-i$，$-2+2i$，$8i$；
(2)设$argz=\theta $($0\lt \theta \lt \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}$)，则区域$0\lt argz\lt \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}$中的任意一点为：
$z=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$($r\gt 0$，$0\lt \theta \lt \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}$)
$\therefore {z}^{3}={r}^{3}\left(\cos 3\theta +i\sin 3\theta \right)$,
故$arg{z}^{3}=3\theta \in \left(0,\mathrm{\pi }\right)$,
$\therefore $区域$0\lt argz\lt \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}$在$\omega $平面上的象为：区域$0\lt arg\omega \lt \mathrm{\pi }$.
解析
${z}_{1}=i$ 可以表示为 $i=\cos \dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}$，根据映射 $\omega = {z}^{3}$，我们有：
$\omega = {z}_{1}^{3} = \left(\cos \dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}\right)^{3} = \cos \dfrac{3\pi}{2}+i\sin \dfrac{3\pi}{2} = -i$。
步骤 2：计算 ${z}_{2}=1+i$ 在 $\omega$ 平面上的象
${z}_{2}=1+i$ 可以表示为 $\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4}\right)$，根据映射 $\omega = {z}^{3}$，我们有：
$\omega = {z}_{2}^{3} = \left(\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4}\right)\right)^{3} = 2\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4}+i\sin \dfrac{3\pi}{4}\right) = -2+2i$。
步骤 3：计算 ${z}_{3}=\sqrt{3}+i$ 在 $\omega$ 平面上的象
${z}_{3}=\sqrt{3}+i$ 可以表示为 $2\left(\cos \dfrac{\pi}{6}+i\sin \dfrac{\pi}{6}\right)$，根据映射 $\omega = {z}^{3}$，我们有：
$\omega = {z}_{3}^{3} = \left(2\left(\cos \dfrac{\pi}{6}+i\sin \dfrac{\pi}{6}\right)\right)^{3} = 8\left(\cos \dfrac{3\pi}{6}+i\sin \dfrac{3\pi}{6}\right) = 8i$。
步骤 4：计算区域 $0\lt \arccos x\lt \dfrac{\pi}{3}$ 在 $\omega$ 平面上的象
设 $argz=\theta$ ($0\lt \theta \lt \dfrac{\pi}{3}$)，则区域 $0\lt argz\lt \dfrac{\pi}{3}$ 中的任意一点为：
$z=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$ ($r\gt 0$，$0\lt \theta \lt \dfrac{\pi}{3}$)
$\therefore {z}^{3}={r}^{3}\left(\cos 3\theta +i\sin 3\theta \right)$,
故 $arg{z}^{3}=3\theta \in \left(0,\pi\right)$,
$\therefore $ 区域 $0\lt argz\lt \dfrac{\pi}{3}$ 在 $\omega$ 平面上的象为：区域 $0\lt arg\omega \lt \pi$。