4.求下列极限（5）lim _(xarrow {0)^+}sqrt [x](cos sqrt {x)}

步骤 1：将极限问题转化为指数形式
将原极限问题转化为指数形式，即 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\sqrt [x]{\cos \sqrt {x}} = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}e^{\ln(\cos \sqrt {x})^{1/x}}$。这样做的目的是为了利用指数函数的性质来简化问题。

步骤 2：利用对数的性质
利用对数的性质，将指数形式进一步转化为 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}e^{\frac{\ln(\cos \sqrt {x})}{x}}$。这样做的目的是为了将问题转化为求解一个分式的极限。

步骤 3：利用洛必达法则
由于当 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时，分子和分母都趋于0，因此可以使用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{\ln(\cos \sqrt {x})}{x} = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{\frac{-\sin \sqrt {x}}{2\sqrt {x}\cos \sqrt {x}}}{1} = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{-\sin \sqrt {x}}{2\sqrt {x}\cos \sqrt {x}}$。

步骤 4：简化极限表达式
由于 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{\sin \sqrt {x}}{\sqrt {x}} = 1$，因此 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{-\sin \sqrt {x}}{2\sqrt {x}\cos \sqrt {x}} = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{-1}{2\cos \sqrt {x}} = -\frac{1}{2}$。

步骤 5：求解最终极限
将步骤 4 的结果代入步骤 2 的表达式中，得到 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}e^{\frac{\ln(\cos \sqrt {x})}{x}} = e^{-\frac{1}{2}}$。