题目

计算行列式_(1)-b a2 an-|||-a1 _(2)-b . . an-|||-:-|||-a1 a2 _(n)-b

计算行列式

$\left|\begin{array}{cccc}a_{1}-b & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2}-b & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}-b\end{array}\right|$

题目解答

答案

将第2列，第3列，……，第n+1列加到第1列，得到：

$\begin{aligned} \text { 原式 } & =\left|\begin{array}{cccc} \sum_{i=1}^{n} a_{i}-b & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ \sum_{i=1}^{n} a_{i}-b & a_{2}-b & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} a_{i}-b & a_{2} & \cdots & a_{n}-b \end{array}\right| \text { (再将第一行的 }(-1) \text { 倍加到各行) } \\ & =\left|\begin{array}{cccc} n \\ \sum_{i=1}^{n} a_{i}-b & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ 0 & -b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -b \end{array}\right|=\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}-b\right)(-b)^{n-1} \text {. } \end{aligned}$

解析

步骤 1：行列式的基本性质
行列式的基本性质之一是，如果将行列式的某一行（或列）的所有元素加上另一行（或列）的对应元素的倍数，行列式的值不变。这可以用来简化行列式的计算。

步骤 2：将第2列，第3列，……，第n+1列加到第1列
根据行列式的性质，将第2列，第3列，……，第n+1列加到第1列，得到新的行列式。具体来说，第1列的元素变为：
${a}_{1}-{b}_{2} + {a}_{2}-{b}_{2} + ... + {a}_{n}-b$

步骤 3：简化行列式
简化后的第1列的元素为：
${a}_{1} + {a}_{2} + ... + {a}_{n} - ({b}_{2} + {b}_{2} + ... + b)$
由于${b}_{2}$重复出现n-1次，简化后的第1列的元素为：
${a}_{1} + {a}_{2} + ... + {a}_{n} - (n-1){b}_{2} - b$

步骤 4：计算行列式的值
由于行列式中第1列的元素已经简化，而其他列保持不变，行列式的值取决于第1列的元素和其余列的元素。由于题目没有给出具体的行列式形式，我们无法进一步简化或计算行列式的值。但是，根据行列式的性质，我们已经简化了行列式的计算过程。