[题目]函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且-|||-(0)=0, (1)=dfrac (1)(3), 试证明存在一点-|||-xi in (0,1), 使得 '(xi )=(5)^2.

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用，通过构造适当的辅助函数，将问题转化为满足罗尔定理条件的形式，从而找到导数为零的点。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：利用已知条件$f(1) = \dfrac{1}{3}$，联想到$x^3$的导数为$x^2$，构造$g(x) = f(x) - \dfrac{1}{3}x^3$。
2. 验证罗尔定理条件：证明$g(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$可导，且$g(0) = g(1) = 0$。
3. 应用罗尔定理：得出存在$\xi \in (0,1)$使得$g'(\xi) = 0$，进而得到$f'(\xi) = \xi^2$。

破题关键点：

• 辅助函数的构造是关键，需通过观察$f(1)$的值与$x^3$的导数关系设计函数形式。

步骤1：构造辅助函数
定义函数$g(x) = f(x) - \dfrac{1}{3}x^3$。

• 连续性：$f(x)$在$[0,1]$连续，$\dfrac{1}{3}x^3$在$[0,1]$连续，故$g(x)$在$[0,1]$连续。
• 可导性：$f(x)$在$(0,1)$可导，$\dfrac{1}{3}x^3$在$(0,1)$可导，故$g(x)$在$(0,1)$可导。

步骤2：验证端点函数值
计算$g(0)$和$g(1)$：

• $g(0) = f(0) - \dfrac{1}{3} \cdot 0^3 = 0 - 0 = 0$，
• $g(1) = f(1) - \dfrac{1}{3} \cdot 1^3 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} = 0$。

步骤3：应用罗尔定理
由于$g(x)$满足罗尔定理的条件，因此存在$\xi \in (0,1)$，使得：
$g'(\xi) = 0.$

步骤4：推导目标结论
计算$g'(x)$：
$g'(x) = f'(x) - \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{3}x^3\right) = f'(x) - x^2.$
令$g'(\xi) = 0$，得：
$f'(\xi) - \xi^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad f'(\xi) = \xi^2.$