题目
lim _(xarrow 1)(dfrac (1)(1-x)-dfrac (3)(1-{x)^3})-|||-__ __;
;
题目解答
答案
.
解析
步骤 1：化简表达式
首先，我们注意到分母 $1-x^3$ 可以分解为 $(1-x)(1+x+x^2)$。因此，原表达式可以写为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {1}{1-x}-\dfrac {3}{(1-x)(1+x+x^2)}\right)$$
步骤 2：通分
将两个分数通分，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {1+x+x^2-3}{(1-x)(1+x+x^2)}$$
步骤 3：化简分子
分子可以化简为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)}$$
步骤 4：因式分解
分子可以进一步因式分解为 $(x-1)(x+2)$，因此原表达式变为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)}$$
步骤 5：化简
由于 $(x-1)$ 和 $(1-x)$ 相互抵消，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x+2}{1+x+x^2}$$
步骤 6：求极限
将 $x=1$ 代入上式，得到：
$$\dfrac {1+2}{1+1+1^2} = \dfrac {3}{3} = 1$$
首先，我们注意到分母 $1-x^3$ 可以分解为 $(1-x)(1+x+x^2)$。因此，原表达式可以写为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {1}{1-x}-\dfrac {3}{(1-x)(1+x+x^2)}\right)$$
步骤 2：通分
将两个分数通分，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {1+x+x^2-3}{(1-x)(1+x+x^2)}$$
步骤 3：化简分子
分子可以化简为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)}$$
步骤 4：因式分解
分子可以进一步因式分解为 $(x-1)(x+2)$，因此原表达式变为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)}$$
步骤 5：化简
由于 $(x-1)$ 和 $(1-x)$ 相互抵消，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x+2}{1+x+x^2}$$
步骤 6：求极限
将 $x=1$ 代入上式，得到：
$$\dfrac {1+2}{1+1+1^2} = \dfrac {3}{3} = 1$$