题目
(7) sum _(n=1)^infty dfrac ({(x-5))^n}(sqrt {n)} -
题目解答
答案
解析
步骤 1：变量替换
令 $x-5=t$，则原级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{t}^{n}}{\sqrt {n}}$。
步骤 2：求收敛半径
利用比值判别法求收敛半径 $R$。比值判别法的公式为 $R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$，其中 $a_n = \frac{t^n}{\sqrt{n}}$。
计算得 $R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{t^n}{\sqrt{n}}}{\frac{t^{n+1}}{\sqrt{n+1}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} \right| = 1$。
步骤 3：确定收敛域
收敛半径 $R=1$，收敛域为 $[-1,1)$，即 $-1 \leqslant t < 1$ 时，级数收敛。
步骤 4：反代回原变量
由于 $x-5=t$，所以当 $-1 \leqslant x-5 < 1$ 时，即 $4 \leqslant x < 6$ 时，原级数收敛。
令 $x-5=t$，则原级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{t}^{n}}{\sqrt {n}}$。
步骤 2：求收敛半径
利用比值判别法求收敛半径 $R$。比值判别法的公式为 $R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$，其中 $a_n = \frac{t^n}{\sqrt{n}}$。
计算得 $R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{t^n}{\sqrt{n}}}{\frac{t^{n+1}}{\sqrt{n+1}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} \right| = 1$。
步骤 3：确定收敛域
收敛半径 $R=1$，收敛域为 $[-1,1)$，即 $-1 \leqslant t < 1$ 时，级数收敛。
步骤 4：反代回原变量
由于 $x-5=t$，所以当 $-1 \leqslant x-5 < 1$ 时，即 $4 \leqslant x < 6$ 时，原级数收敛。