题目
求函数f(x)=2x^3+3x^2-12x+14的在[-3,4]上的最大值与最小值.
求函数$f\left(x\right)=2x^{3}+3x^{2}-12x+14$的在$\left[-3,4\right]$上的最大值与最小值.
题目解答
答案
由题可得${f'}\left(x\right)=6x^{2}+6x-12=0$，令${f'}\left(x\right)=0$，解得$x=1$，$-2$，$\therefore$函数在$\left(-3,-2\right)$，$\left(1,4\right)$上单调递增，在$\left(-2,1\right)$上单调递减，又$f\left(-3\right)=20$，$f\left(-2\right)=34$，$f\left(1\right)=7$，$f\left(4\right)=142$，$\therefore$函数$f\left(x\right)=2x^{3}+3x^{2}-12x+14$的在$\left[-3,4\right]$上的最大值为$142$，最小值$7$.
解析
步骤 1：求导数
对函数$f\left(x\right)=2x^{3}+3x^{2}-12x+14$求导，得到${f'}\left(x\right)=6x^{2}+6x-12$。
步骤 2：求导数为零的点
令${f'}\left(x\right)=0$，解得$x=1$，$-2$。
步骤 3：判断单调性
根据导数的符号，函数在$\left(-3,-2\right)$，$\left(1,4\right)$上单调递增，在$\left(-2,1\right)$上单调递减。
步骤 4：计算端点和极值点的函数值
计算$f\left(-3\right)=20$，$f\left(-2\right)=34$，$f\left(1\right)=7$，$f\left(4\right)=142$。
步骤 5：确定最大值和最小值
根据计算结果，函数$f\left(x\right)=2x^{3}+3x^{2}-12x+14$的在$\left[-3,4\right]$上的最大值为$142$，最小值$7$。
对函数$f\left(x\right)=2x^{3}+3x^{2}-12x+14$求导，得到${f'}\left(x\right)=6x^{2}+6x-12$。
步骤 2：求导数为零的点
令${f'}\left(x\right)=0$，解得$x=1$，$-2$。
步骤 3：判断单调性
根据导数的符号，函数在$\left(-3,-2\right)$，$\left(1,4\right)$上单调递增，在$\left(-2,1\right)$上单调递减。
步骤 4：计算端点和极值点的函数值
计算$f\left(-3\right)=20$，$f\left(-2\right)=34$，$f\left(1\right)=7$，$f\left(4\right)=142$。
步骤 5：确定最大值和最小值
根据计算结果，函数$f\left(x\right)=2x^{3}+3x^{2}-12x+14$的在$\left[-3,4\right]$上的最大值为$142$，最小值$7$。