题目

10.判断题(1分)设随机变量X具有数学期望EX和方差DX，则对任意的ε>0，都有P |X-EX|<varepsilon geq 1-(DX)/(varepsilon ^2)成立.（）A 对B 错

10.判断题(1分) 设随机变量X具有数学期望EX和方差DX，则对任意的ε>0，都有 $P\{ |X-EX|<\varepsilon \} \geq 1-\frac{DX}{\varepsilon ^{2}}$成立.（）
A 对 B 错

题目解答

答案

切比雪夫不等式表明，对于任意随机变量 $X$，其期望 $EX$ 和方差 $DX$ 存在时，对任意 $\varepsilon > 0$，有 \[ P\{ |X - EX| \geq \varepsilon \} \leq \frac{DX}{\varepsilon^2}. \] 取补集得 \[ P\{ |X - EX| < \varepsilon \} = 1 - P\{ |X - EX| \geq \varepsilon \} \geq 1 - \frac{DX}{\varepsilon^2}. \] 与题目不等式一致，故正确。 答案：$\boxed{A}$

解析

切比雪夫不等式是概率论中用于估计随机变量偏离期望值概率的重要工具。其核心思想是：方差越小，随机变量集中在期望值附近的概率越高。本题的关键在于理解不等式的形式及其补集的概率关系。

破题关键点：

  1. 原不等式形式：切比雪夫不等式为 $P\{ |X - EX| \geq \varepsilon \} \leq \frac{DX}{\varepsilon^2}$。
  2. 补集转换：将原不等式中的事件取补集，得到 $P\{ |X - EX| < \varepsilon \} \geq 1 - \frac{DX}{\varepsilon^2}$。
  3. 条件验证：题目中明确给出 $X$ 具有数学期望和方差，满足切比雪夫不等式的应用条件。

步骤解析

  1. 写出切比雪夫不等式
    根据切比雪夫不等式，对任意 $\varepsilon > 0$，有：
    $P\{ |X - EX| \geq \varepsilon \} \leq \frac{DX}{\varepsilon^2}.$

  2. 取补集事件
    事件 $\{ |X - EX| < \varepsilon \}$ 是 $\{ |X - EX| \geq \varepsilon \}$ 的补集，因此：
    $P\{ |X - EX| < \varepsilon \} = 1 - P\{ |X - EX| \geq \varepsilon \}.$

  3. 代入不等式
    将原不等式代入补集概率表达式：
    $P\{ |X - EX| < \varepsilon \} \geq 1 - \frac{DX}{\varepsilon^2}.$

  4. 结论验证
    题目中的不等式与推导结果一致，因此原命题正确。