判断函数(x)=ln (sqrt (1+{x)^2}-x)的奇偶性．

考查要点：判断函数的奇偶性，需要掌握奇函数和偶函数的定义，并能通过代数运算验证$f(-x)$与$f(x)$的关系。

解题核心思路：

1. 计算$f(-x)$，将原函数中的$x$替换为$-x$，化简表达式。
2. 比较$f(-x)$与$f(x)$的关系，若$f(-x) = -f(x)$，则为奇函数；若$f(-x) = f(x)$，则为偶函数。
3. 验证定义域是否关于原点对称，确保函数满足奇偶性的判断条件。

破题关键点：

• 对数运算的性质：利用$\ln a + \ln b = \ln(ab)$简化表达式。
• 代数恒等变形：通过乘积展开验证$f(x) + f(-x) = 0$，从而得出$f(-x) = -f(x)$。

步骤1：计算$f(-x)$
将$x$替换为$-x$，得：
$f(-x) = \ln\left(\sqrt{1+(-x)^2} - (-x)\right) = \ln\left(\sqrt{1+x^2} + x\right).$

步骤2：分析$f(x)$与$f(-x)$的关系
计算$f(x) + f(-x)$：
$\begin{aligned}f(x) + f(-x) &= \ln\left(\sqrt{1+x^2} - x\right) + \ln\left(\sqrt{1+x^2} + x\right) \\&= \ln\left[\left(\sqrt{1+x^2} - x\right)\left(\sqrt{1+x^2} + x\right)\right].\end{aligned}$

步骤3：化简乘积
展开括号内的乘积：
$\left(\sqrt{1+x^2} - x\right)\left(\sqrt{1+x^2} + x\right) = (\sqrt{1+x^2})^2 - x^2 = (1+x^2) - x^2 = 1.$

步骤4：得出结论
因此：
$f(x) + f(-x) = \ln(1) = 0 \implies f(-x) = -f(x).$

步骤5：验证定义域
$\sqrt{1+x^2} \geq |x|$，故$\sqrt{1+x^2} - x > 0$对所有$x \in \mathbb{R}$成立，定义域为$\mathbb{R}$，关于原点对称。