题目
已知 y1=e 3x -x(e)^2x, y1=e 3x -x(e)^2x, y1=e 3x -x(e)^2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件 y1=e 3x -x(e)^2x的解为y= ________ .
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是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件
的解为y= ________ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定齐次解和特解
由于 $y_1$, $y_2$, $y_3$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，根据线性微分方程的性质，$y_1-y_3$ 和 $y_2-y_3$ 是对应的齐次方程的解。因此，$y_1-y_3=e^{3x}$ 和 $y_2-y_3=e^x$ 是齐次方程的解。由此可知，齐次方程的通解为 $y_h=C_1e^{3x}+C_2e^x$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。而 $y_3=-xe^{2x}$ 是非齐次方程的一个特解。
步骤 2：构造非齐次方程的通解
非齐次方程的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解，即 $y=y_h+y_p=C_1e^{3x}+C_2e^x-xe^{2x}$。
步骤 3：应用初始条件
根据初始条件 $y|_{x=0}=0$ 和 $y'|_{x=0}=1$，我们有：
- $y|_{x=0}=C_1+C_2=0$
- $y'|_{x=0}=3C_1+C_2-2=1$
解这个方程组，得到 $C_1=1$ 和 $C_2=-1$。
由于 $y_1$, $y_2$, $y_3$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，根据线性微分方程的性质，$y_1-y_3$ 和 $y_2-y_3$ 是对应的齐次方程的解。因此，$y_1-y_3=e^{3x}$ 和 $y_2-y_3=e^x$ 是齐次方程的解。由此可知，齐次方程的通解为 $y_h=C_1e^{3x}+C_2e^x$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。而 $y_3=-xe^{2x}$ 是非齐次方程的一个特解。
步骤 2：构造非齐次方程的通解
非齐次方程的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解，即 $y=y_h+y_p=C_1e^{3x}+C_2e^x-xe^{2x}$。
步骤 3：应用初始条件
根据初始条件 $y|_{x=0}=0$ 和 $y'|_{x=0}=1$，我们有：
- $y|_{x=0}=C_1+C_2=0$
- $y'|_{x=0}=3C_1+C_2-2=1$
解这个方程组，得到 $C_1=1$ 和 $C_2=-1$。