题目

5.根据数列极限的定义证明:-|||-(1) lim _(narrow infty )dfrac (1)({n)^2}=0 ;

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的定义及其应用，需要根据定义严格证明数列$\dfrac{1}{n^2}$的极限为0。

解题核心思路：

  1. 理解极限定义：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，找到自然数$N$，使得当$n > N$时，$\left|\dfrac{1}{n^2} - 0\right| < \varepsilon$。
  2. 不等式变形：将$\dfrac{1}{n^2} < \varepsilon$转化为$n > \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$，确定$N$的取法。
  3. 取整处理：通过取整操作确保$N$为自然数，并验证条件成立。

破题关键点：

  • 放大思想：直接利用$\dfrac{1}{n^2}$的表达式，无需额外放大，通过解不等式直接找到$N$。
  • 特殊处理：假设$\varepsilon < 1$简化讨论，避免$\varepsilon \geq 1$时的冗余分析。

证明步骤：

  1. 设定条件：任取$\varepsilon > 0$（不妨设$\varepsilon < 1$）。
  2. 解不等式：
    要使$\left|\dfrac{1}{n^2} - 0\right| = \dfrac{1}{n^2} < \varepsilon$，需满足：
    $n^2 > \dfrac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad n > \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.$
  3. 确定$N$：
    取$N = \left[\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right]$（$\left[\cdot\right]$表示取整函数）。
  4. 验证条件：
    当$n > N$时，$n \geq N + 1 > \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$，因此：
    $\dfrac{1}{n^2} < \varepsilon.$
  5. 结论：根据数列极限定义，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{n^2} = 0$。