题目
4.过直线L:(x-1)/(2)=(y+2)/(-3)=(z-2)/(2)且垂直于平面Pi:3x+2y-z-5=0的平面方程为____.
4.过直线L:$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2}$且垂直于平面$\Pi:3x+2y-z-5=0$的平面方程为____.
题目解答
答案
直线 $L$ 的方向向量为 $\overrightarrow{s} = \{2, -3, 2\}$，已知平面 $\Pi$ 的法向量为 $\overrightarrow{n} = \{3, 2, -1\}$。所求平面的法向量 $\overrightarrow{n^*}$ 为 $\overrightarrow{s} \times \overrightarrow{n}$：
\[
\overrightarrow{n^*} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -3 & 2 \\
3 & 2 & -1
\end{vmatrix} = \{-1, 8, 13\}
\]
使用点 $(1, -2, 2)$ 和法向量 $\overrightarrow{n^*}$，平面方程为：
\[
-1(x - 1) + 8(y + 2) + 13(z - 2) = 0
\]
化简得：
\[
x - 8y - 13z + 9 = 0
\]
**答案：** $\boxed{x - 8y - 13z + 9 = 0}$
解析
步骤 1：确定直线L的方向向量
直线L的方程为$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2}$，由此可得直线L的方向向量$\overrightarrow{s} = \{2, -3, 2\}$。
步骤 2：确定平面Π的法向量
平面Π的方程为$3x+2y-z-5=0$，由此可得平面Π的法向量$\overrightarrow{n} = \{3, 2, -1\}$。
步骤 3：计算所求平面的法向量
所求平面的法向量$\overrightarrow{n^*}$为$\overrightarrow{s}$和$\overrightarrow{n}$的叉积，即$\overrightarrow{n^*} = \overrightarrow{s} \times \overrightarrow{n}$。计算叉积：
\[
\overrightarrow{n^*} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \{-1, 8, 13\}
\]
步骤 4：确定所求平面方程
使用点$(1, -2, 2)$和法向量$\overrightarrow{n^*} = \{-1, 8, 13\}$，所求平面方程为：
\[
-1(x - 1) + 8(y + 2) + 13(z - 2) = 0
\]
化简得：
\[
x - 8y - 13z + 9 = 0
\]
直线L的方程为$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2}$，由此可得直线L的方向向量$\overrightarrow{s} = \{2, -3, 2\}$。
步骤 2：确定平面Π的法向量
平面Π的方程为$3x+2y-z-5=0$，由此可得平面Π的法向量$\overrightarrow{n} = \{3, 2, -1\}$。
步骤 3：计算所求平面的法向量
所求平面的法向量$\overrightarrow{n^*}$为$\overrightarrow{s}$和$\overrightarrow{n}$的叉积，即$\overrightarrow{n^*} = \overrightarrow{s} \times \overrightarrow{n}$。计算叉积：
\[
\overrightarrow{n^*} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \{-1, 8, 13\}
\]
步骤 4：确定所求平面方程
使用点$(1, -2, 2)$和法向量$\overrightarrow{n^*} = \{-1, 8, 13\}$，所求平面方程为：
\[
-1(x - 1) + 8(y + 2) + 13(z - 2) = 0
\]
化简得：
\[
x - 8y - 13z + 9 = 0
\]