题目
28.设 gt 0, 有任意两数x,y,且 lt xlt a, lt ylt a, 试求 lt (a)^2/4 的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义样本空间
样本空间 $\Omega$ 是由所有满足 $0\lt x\lt a$ 和 $0\lt y\lt a$ 的点 $(x,y)$ 组成的区域，即一个边长为 $a$ 的正方形。因此，样本空间的面积为 ${S}_{n}={a}^{2}$。
步骤 2：定义事件A
事件 $A$ 是由所有满足 $xy\lt {a}^{2}/4$ 的点 $(x,y)$ 组成的区域。为了找到这个区域的面积，我们需要计算积分 ${\int }_{0}^{a}{\int }_{0}^{\frac {{a}^{2}}{4x}}dydx$，其中 $y$ 的上限是 $\frac {{a}^{2}}{4x}$，因为 $xy\lt {a}^{2}/4$ 可以重写为 $y\lt \frac {{a}^{2}}{4x}$。
步骤 3：计算事件A的面积
事件 $A$ 的面积 ${S}_{k}$ 可以通过计算积分 ${\int }_{0}^{a}{\int }_{0}^{\frac {{a}^{2}}{4x}}dydx$ 来得到。这个积分可以分解为 ${\int }_{0}^{a}(\frac {{a}^{2}}{4x})dx$，即 ${\int }_{0}^{a}\frac {{a}^{2}}{4x}dx$。计算这个积分，我们得到 ${S}_{k}={a}^{2}-{\int }_{0}^{a}(a-\frac {{a}^{2}}{4x})dx$。进一步计算，我们得到 ${S}_{k}={a}^{2}(1-\frac {3}{4}+\frac {\ln 4}{4})$。
步骤 4：计算概率
事件 $A$ 的概率 $P(A)$ 是事件 $A$ 的面积 ${S}_{k}$ 除以样本空间的面积 ${S}_{n}$，即 $P(A)=\frac {{S}_{k}}{{S}_{n}}$。将 ${S}_{k}$ 和 ${S}_{n}$ 的值代入，我们得到 $P(A)=1-\frac {3}{4}+\frac {\ln 4}{4}=0.5966$。
样本空间 $\Omega$ 是由所有满足 $0\lt x\lt a$ 和 $0\lt y\lt a$ 的点 $(x,y)$ 组成的区域，即一个边长为 $a$ 的正方形。因此，样本空间的面积为 ${S}_{n}={a}^{2}$。
步骤 2：定义事件A
事件 $A$ 是由所有满足 $xy\lt {a}^{2}/4$ 的点 $(x,y)$ 组成的区域。为了找到这个区域的面积，我们需要计算积分 ${\int }_{0}^{a}{\int }_{0}^{\frac {{a}^{2}}{4x}}dydx$，其中 $y$ 的上限是 $\frac {{a}^{2}}{4x}$，因为 $xy\lt {a}^{2}/4$ 可以重写为 $y\lt \frac {{a}^{2}}{4x}$。
步骤 3：计算事件A的面积
事件 $A$ 的面积 ${S}_{k}$ 可以通过计算积分 ${\int }_{0}^{a}{\int }_{0}^{\frac {{a}^{2}}{4x}}dydx$ 来得到。这个积分可以分解为 ${\int }_{0}^{a}(\frac {{a}^{2}}{4x})dx$，即 ${\int }_{0}^{a}\frac {{a}^{2}}{4x}dx$。计算这个积分，我们得到 ${S}_{k}={a}^{2}-{\int }_{0}^{a}(a-\frac {{a}^{2}}{4x})dx$。进一步计算，我们得到 ${S}_{k}={a}^{2}(1-\frac {3}{4}+\frac {\ln 4}{4})$。
步骤 4：计算概率
事件 $A$ 的概率 $P(A)$ 是事件 $A$ 的面积 ${S}_{k}$ 除以样本空间的面积 ${S}_{n}$，即 $P(A)=\frac {{S}_{k}}{{S}_{n}}$。将 ${S}_{k}$ 和 ${S}_{n}$ 的值代入，我们得到 $P(A)=1-\frac {3}{4}+\frac {\ln 4}{4}=0.5966$。