题目
D 由 x^2 + y^2 = 4 围成，则 iint_(D) e^x^2 + y^2 , dx , dy = ( ) A. (pi)/(2) (e^4 - 1)B. pi (e^4 - 1)C. 2pi (e^4 - 1)D. e^4
D 由 $x^2 + y^2 = 4$ 围成，则 $\iint_{D} e^{x^2 + y^2} \, dx \, dy = (\quad)$
- A. $\frac{\pi}{2} (e^4 - 1)$
- B. $\pi (e^4 - 1)$
- C. $2\pi (e^4 - 1)$
- D. $e^4$
题目解答
答案
将积分区域 $D$ 转换为极坐标，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，雅可比行列式为 $r$。积分变为：
\[
\iint_{D} e^{x^2 + y^2} \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} e^{r^2} r \, dr \, d\theta
\]
令 $u = r^2$，则 $du = 2r \, dr$，积分变为：
\[
\int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^u \, du \right] d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (e^4 - 1) \, d\theta = \pi (e^4 - 1)
\]
答案：$\boxed{B}$
解析
步骤 1：转换为极坐标
将积分区域 $D$ 转换为极坐标，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，雅可比行列式为 $r$。积分变为： \[ \iint_{D} e^{x^2 + y^2} \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} e^{r^2} r \, dr \, d\theta \]
步骤 2：变量替换
令 $u = r^2$，则 $du = 2r \, dr$，积分变为： \[ \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^u \, du \right] d\theta \]
步骤 3：计算积分
计算积分： \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (e^4 - 1) \, d\theta = \pi (e^4 - 1) \]
将积分区域 $D$ 转换为极坐标，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，雅可比行列式为 $r$。积分变为： \[ \iint_{D} e^{x^2 + y^2} \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} e^{r^2} r \, dr \, d\theta \]
步骤 2：变量替换
令 $u = r^2$，则 $du = 2r \, dr$，积分变为： \[ \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^u \, du \right] d\theta \]
步骤 3：计算积分
计算积分： \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (e^4 - 1) \, d\theta = \pi (e^4 - 1) \]