题目
设A为n阶矩阵,下列命题成立的是[ ].-|||-(A)若 ^2=0, 则 A=0 (B)若 ^2=A, 则 A=0 或 =1-|||-(C)若 neq 0, 则 |A|neq 0 (D)若 |A|neq 0, 则 neq 0
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项 (A)
若 ${A}^{2}=0$，则 A=0。这个命题不成立，因为存在非零矩阵 A，使得 ${A}^{2}=0$。例如，设 $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 ${A}^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$，但 $A\neq 0$。
步骤 2：分析选项 (B)
若 ${A}^{2}=A$，则 A=0 或 $A=1$。这个命题不成立，因为存在非零矩阵 A，使得 ${A}^{2}=A$。例如，设 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 ${A}^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A$，但 $A\neq 0$，$A\neq 1$。
步骤 3：分析选项 (C)
若 $A\neq 0$，则 $|A|\neq 0$。这个命题不成立，因为存在非零矩阵 A，使得 $|A|=0$。例如，设 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$，但 $A\neq 0$。
步骤 4：分析选项 (D)
若 $|A|\neq 0$，则 $A\neq 0$。这个命题成立，因为如果 $|A|\neq 0$，则 A 是可逆矩阵，即 A 不是零矩阵。
若 ${A}^{2}=0$，则 A=0。这个命题不成立，因为存在非零矩阵 A，使得 ${A}^{2}=0$。例如，设 $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 ${A}^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$，但 $A\neq 0$。
步骤 2：分析选项 (B)
若 ${A}^{2}=A$，则 A=0 或 $A=1$。这个命题不成立，因为存在非零矩阵 A，使得 ${A}^{2}=A$。例如，设 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 ${A}^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A$，但 $A\neq 0$，$A\neq 1$。
步骤 3：分析选项 (C)
若 $A\neq 0$，则 $|A|\neq 0$。这个命题不成立，因为存在非零矩阵 A，使得 $|A|=0$。例如，设 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$，但 $A\neq 0$。
步骤 4：分析选项 (D)
若 $|A|\neq 0$，则 $A\neq 0$。这个命题成立，因为如果 $|A|\neq 0$，则 A 是可逆矩阵，即 A 不是零矩阵。