题目

6.设A,B,C为三个事件,且 P(A)=P(B)= (1)/(4) , P(C)= (1)/(3) 且 P(AB)=P(BC)=0,P(AC)= (1)/(12) , 求A,B,C至少有一个发生的概率.

6.设A,B,C为三个事件,且 P(A)=P(B)= $\frac{1}{4}$ , $P(C)= \frac{1}{3}$ 且 $P(AB)=P(BC)=0,P(AC)= \frac{1}{12}$ , 求A,B,C至少有一个发生的概率.

题目解答

答案

由题意，利用三个事件的并集公式： \[ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC) \] 已知 $P(A) = P(B) = \frac{1}{4}$，$P(C) = \frac{1}{3}$，$P(AB) = P(BC) = 0$，$P(CA) = \frac{1}{12}$。由于 $P(AB) = 0$，事件 $A$、$B$ 互斥，故 $P(ABC) = 0$。代入公式得： \[ P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 0 - 0 - \frac{1}{12} + 0 = \frac{3}{12} + \frac{3}{12} + \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \] **答案：** $\boxed{\frac{3}{4}}$

解析

考查要点：本题主要考查三个事件并集的概率计算，涉及互斥事件的性质及容斥原理的应用。

解题核心思路：

  1. 利用容斥原理公式展开三个事件的并集概率；
  2. 分析事件间的独立性与互斥性，简化计算；
  3. 代入已知条件，逐步求解。

破题关键点：

  • 互斥事件：由 $P(AB)=0$ 可知 $A$ 与 $B$ 互斥，进而推导 $P(ABC)=0$；
  • 交集概率的处理：直接代入已知的 $P(AC)=\frac{1}{12}$ 和 $P(BC)=0$；
  • 公式中各项的符号：注意减去两两交集概率，加上三事件交集概率。

根据三个事件并集的概率公式：
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$

步骤分解：

  1. 代入已知概率：

    • $P(A) = P(B) = \frac{1}{4}$，$P(C) = \frac{1}{3}$；
    • $P(AB) = 0$，$P(BC) = 0$，$P(AC) = \frac{1}{12}$；
    • 由 $P(AB)=0$ 知 $A$ 与 $B$ 互斥，故 $P(ABC)=0$。

  2. 代入公式计算：
    $\begin{aligned} P(A \cup B \cup C) &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 0 - \frac{1}{12} - 0 + 0 \\ &= \frac{3}{12} + \frac{3}{12} + \frac{4}{12} - \frac{1}{12} \\ &= \frac{9}{12} = \frac{3}{4}. \end{aligned}$