求指导本题解题过程，谢谢您！10.设 f(x)= ) 1+x, xlt 0 1, xgeqslant 0 . 计算:f[f(x)]的函数表达式。

考查要点：本题主要考查分段函数的复合运算，需要根据自变量的不同取值范围，分情况讨论复合函数的结果。

解题核心思路：

1. 分段处理：原函数$f(x)$分为$x<0$和$x\geq0$两种情况，因此计算$f(f(x))$时，需先确定$f(x)$的输出值，再根据该输出值所在的区间再次应用$f$的规则。
2. 二次分段：当$x<0$时，$f(x)=1+x$，此时需进一步判断$1+x$是否小于0，从而决定$f(f(x))$的表达式。

关键点：

• 嵌套分段：外层函数的输出可能落在不同区间，需逐层分析。
• 临界值处理：特别注意$x=-1$处的临界情况，此时$1+x=0$，属于$x\geq0$的区间。

步骤1：分析$x \geq 0$的情况
当$x \geq 0$时，$f(x)=1$。此时$f(f(x))=f(1)$，而$1 \geq 0$，因此$f(1)=1$。
结论：当$x \geq 0$时，$f(f(x))=1$。

步骤2：分析$x < 0$的情况
当$x < 0$时，$f(x)=1+x$。此时需进一步判断$1+x$的符号：

• 子情况1：若$1+x < 0$（即$x < -1$），则$f(f(x))=f(1+x)=1+(1+x)=2+x$。
• 子情况2：若$1+x \geq 0$（即$x \geq -1$），则$f(f(x))=f(1+x)=1$。

结论：

• 当$x < -1$时，$f(f(x))=2+x$；
• 当$-1 \leq x < 0$时，$f(f(x))=1$。

综合结果：
$f(f(x)) = \begin{cases} 2+x, & x < -1, \\1, & x \geq -1.\end{cases}$