题目
问题1.5.41 设H是群G的子群,若对于G的任意子群K,H K都是G的-|||-子群,则H一定是G的正规子群吗?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义拟正规子群
拟正规子群（quasinormal subgroup）或置换子群（permutable subgroup）是指对于群G的任意子群K，H与K的乘积HK也是G的子群的子群H。
步骤 2：正规子群与拟正规子群的关系
正规子群一定是拟正规子群，因为如果H是G的正规子群，那么对于G的任意子群K，HK=KH，所以HK也是G的子群。但是拟正规子群不一定是正规子群。
步骤 3：给出反例
设p是奇素数，G是a和b生成的群，a和b满足${a}^{{p}^{2}}=bp=e$并且$ab=b{a}^{p+1}$，则G是${p}^{3}$阶群。b生成的子群$H=\langle b\rangle$是G的拟正规子群，但H不是G的正规子群。这是因为对于G的某个子群K，HK不等于KH，所以H不是G的正规子群。
拟正规子群（quasinormal subgroup）或置换子群（permutable subgroup）是指对于群G的任意子群K，H与K的乘积HK也是G的子群的子群H。
步骤 2：正规子群与拟正规子群的关系
正规子群一定是拟正规子群，因为如果H是G的正规子群，那么对于G的任意子群K，HK=KH，所以HK也是G的子群。但是拟正规子群不一定是正规子群。
步骤 3：给出反例
设p是奇素数，G是a和b生成的群，a和b满足${a}^{{p}^{2}}=bp=e$并且$ab=b{a}^{p+1}$，则G是${p}^{3}$阶群。b生成的子群$H=\langle b\rangle$是G的拟正规子群，但H不是G的正规子群。这是因为对于G的某个子群K，HK不等于KH，所以H不是G的正规子群。