int dfrac (1+2{x)^2}({x)^2(1+(x)^2})dx_____.

步骤 1：分解被积函数
将被积函数 $\dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}$ 分解为部分分式。设
$$\dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x^2} + \dfrac{C}{1+x^2}$$
步骤 2：确定系数
通过比较系数，确定 $A$、$B$ 和 $C$ 的值。将等式两边通分，得到
$$1+2{x}^{2} = A x (1+x^2) + B (1+x^2) + C x^2$$
展开并整理，得到
$$1+2{x}^{2} = A x + A x^3 + B + B x^2 + C x^2$$
$$1+2{x}^{2} = A x + (A+B+C) x^2 + B$$
比较系数，得到
$$A = 0$$
$$A + B + C = 2$$
$$B = 1$$
解得 $A = 0$，$B = 1$，$C = 1$。
步骤 3：积分
将被积函数分解为部分分式后，进行积分。
$$\int \dfrac {1+2{x}^{2}}{{x}^{2}(1+{x}^{2})} dx = \int \left( \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{1+x^2} \right) dx$$
$$= \int \dfrac{1}{x^2} dx + \int \dfrac{1}{1+x^2} dx$$
$$= -\dfrac{1}{x} + \arctan x + C$$