int dfrac (1+2{x)^2}({x)^2(1+(x)^2})dx_____.

考查要点：本题主要考查分式积分的分解方法，特别是通过代数变形将复杂分式拆分为简单分式的和，进而逐项积分的能力。

解题核心思路：

1. 分式拆分：将分子拆分为与分母相关联的形式，简化积分过程。
2. 分项积分：将原积分拆分为两个更简单的积分之和，分别求解。
3. 基本积分公式：利用$\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C$和$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$。

破题关键点：

• 分子变形：将分子$1+2x^2$拆分为$1$和$2x^2$，对应分母$x^2(1+x^2)$，拆分后分别处理。
• 分式分解技巧：对$\frac{1}{x^2(1+x^2)}$使用分子变形，拆分为$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}$。

将原积分拆分为两个部分：
$\int \frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)} dx = \int \frac{1}{x^2(1+x^2)} dx + \int \frac{2x^2}{x^2(1+x^2)} dx$

第一部分积分：
$\int \frac{1}{x^2(1+x^2)} dx$
分子变形：
$\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{(1+x^2) - x^2}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}$
逐项积分：
$\int \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2} \right) dx = -\frac{1}{x} - \arctan x + C_1$

第二部分积分：
$\int \frac{2x^2}{x^2(1+x^2)} dx = \int \frac{2}{1+x^2} dx = 2 \arctan x + C_2$

合并结果：
$-\frac{1}{x} - \arctan x + 2 \arctan x + C = -\frac{1}{x} + \arctan x + C$