题目
3.当 arrow 0 时,下列无穷小中,哪个是比其他三个更高阶的无穷小 () .-|||-(A)x^2 (B) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_0b8d02b1b48c81aebf6dbc8d18c56ca9.jpg-cos x-|||-(C) sqrt (1-{x)^2}-1 (D) -tan x
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析无穷小的阶数
无穷小的阶数是指无穷小量在极限过程中趋于零的速度。如果两个无穷小量的比值在极限过程中趋于一个非零常数，则它们是同阶无穷小；如果比值趋于零，则前者是比后者更高阶的无穷小。
步骤 2：计算各选项的阶数
(A) $x^2$ 显然是 $x$ 的二阶无穷小。
(B) $1-\cos x$ 可以用泰勒展开式来分析，$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，所以 $1-\cos x$ 也是 $x$ 的二阶无穷小。
(C) $\sqrt{1-x^2}-1$ 可以用泰勒展开式来分析，$\sqrt{1-x^2}-1 \sim -\frac{x^2}{2}$，所以 $\sqrt{1-x^2}-1$ 也是 $x$ 的二阶无穷小。
(D) $x-\tan x$ 可以用洛必达法则来分析，$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\tan x}{x^3} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sec^2 x}{3x^2} = -\frac{1}{3}$，所以 $x-\tan x$ 是 $x$ 的三阶无穷小。
步骤 3：比较各选项的阶数
根据上面的分析，$x^2$、$1-\cos x$ 和 $\sqrt{1-x^2}-1$ 都是 $x$ 的二阶无穷小，而 $x-\tan x$ 是 $x$ 的三阶无穷小，所以 $x-\tan x$ 是比其他三个更高阶的无穷小。
无穷小的阶数是指无穷小量在极限过程中趋于零的速度。如果两个无穷小量的比值在极限过程中趋于一个非零常数，则它们是同阶无穷小；如果比值趋于零，则前者是比后者更高阶的无穷小。
步骤 2：计算各选项的阶数
(A) $x^2$ 显然是 $x$ 的二阶无穷小。
(B) $1-\cos x$ 可以用泰勒展开式来分析，$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，所以 $1-\cos x$ 也是 $x$ 的二阶无穷小。
(C) $\sqrt{1-x^2}-1$ 可以用泰勒展开式来分析，$\sqrt{1-x^2}-1 \sim -\frac{x^2}{2}$，所以 $\sqrt{1-x^2}-1$ 也是 $x$ 的二阶无穷小。
(D) $x-\tan x$ 可以用洛必达法则来分析，$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\tan x}{x^3} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sec^2 x}{3x^2} = -\frac{1}{3}$，所以 $x-\tan x$ 是 $x$ 的三阶无穷小。
步骤 3：比较各选项的阶数
根据上面的分析，$x^2$、$1-\cos x$ 和 $\sqrt{1-x^2}-1$ 都是 $x$ 的二阶无穷小，而 $x-\tan x$ 是 $x$ 的三阶无穷小，所以 $x-\tan x$ 是比其他三个更高阶的无穷小。