设曲线的极坐标方程为 =(e)^atheta (agt 0), 则该曲线上相应于θ从0变到2π的-|||-一段弧与极轴所围成的图形的面积为 __

考查要点：本题主要考查极坐标系下平面图形面积的计算方法，需要掌握极坐标方程对应的面积积分公式，并能正确进行定积分运算。

解题核心思路：

1. 极坐标面积公式：极坐标下，由曲线$r=r(\theta)$从$\theta_1$到$\theta_2$围成的面积公式为$S=\dfrac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} r^2 \, d\theta$。
2. 代入方程：将题目中的$r=e^{a\theta}$代入公式，转化为对$\theta$的定积分。
3. 积分计算：通过指数函数的积分规则求解定积分，并代入上下限$\theta=0$到$\theta=2\pi$。

破题关键点：

• 正确应用面积公式，注意公式中是$r^2$而非$r$。
• 积分变量替换：将$e^{a\theta}$平方后得到$e^{2a\theta}$，积分时需注意系数处理。

根据极坐标面积公式，所求面积为：
$S = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \left( e^{a\theta} \right)^2 d\theta$

步骤1：化简被积函数
将$r^2$展开：
$\left( e^{a\theta} \right)^2 = e^{2a\theta}$

步骤2：计算定积分
积分$\int e^{2a\theta} d\theta$的原函数为$\dfrac{1}{2a} e^{2a\theta}$，代入上下限：
$\int_{0}^{2\pi} e^{2a\theta} d\theta = \left. \dfrac{1}{2a} e^{2a\theta} \right|_{0}^{2\pi} = \dfrac{1}{2a} \left( e^{4\pi a} - 1 \right)$

步骤3：代入面积公式
将积分结果乘以$\dfrac{1}{2}$：
$S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2a} \left( e^{4\pi a} - 1 \right) = \dfrac{1}{4a} \left( e^{4\pi a} - 1 \right)$