2、计算I=iintlimits_(Sigma)(x+y^2)dydz+(y+z^2)dzdx+zdxdy，其中Sigma为曲面z=x^2+y^2(0le zle 1)的上侧.

考查要点：本题主要考查第二类曲面积分的计算，重点在于高斯公式的应用以及补面法的使用。

解题核心思路：

1. 闭合曲面补面：原曲面$\Sigma$是开口的，需补上平面$z=1$（下侧）形成闭合曲面，便于应用高斯公式。
2. 散度计算：将向量场$\mathbf{F}=(x+y^2, y+z^2, z)$的散度$\nabla \cdot \mathbf{F}$求出，发现其值为$3$，简化体积分。
3. 补面积分处理：计算补面$z=1$的积分时，注意法向量方向对积分结果的影响。

破题关键点：

• 高斯公式的正确应用，明确闭曲面内外侧方向。
• 补面后积分的符号处理，避免方向错误导致结果偏差。

步骤1：应用高斯公式

将原曲面$\Sigma$补上平面$z=1$（下侧），形成闭合曲面$\Sigma \cup \Sigma'$。根据高斯公式：
$\iint\limits_{\Sigma \cup \Sigma'} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint\limits_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$
其中，$\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3$，因此：
$\iiint\limits_{V} 3 \, dV = 3 \cdot \text{体积}(V)$

步骤2：计算体积分

区域$V$由曲面$z=x^2+y^2$与平面$z=1$围成，在柱坐标下体积为：
$\text{体积} = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{r^2}^{1} r \, dz \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2}$
故体积分结果为：
$3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$

步骤3：计算补面$\Sigma'$的积分

在$z=1$（下侧），法向量$\mathbf{n}=(0,0,-1)$，向量场点积为：
$\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = z \cdot (-1) = -1$
积分区域为单位圆$x^2+y^2 \leq 1$，故：
$\iint\limits_{\Sigma'} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = -1 \cdot \pi = -\pi$

步骤4：联立求解原积分

根据高斯公式拆分闭曲面积分：
$\frac{3\pi}{2} = \iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS + (-\pi)$
解得：
$\iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \frac{3\pi}{2} + \pi = \frac{5\pi}{2}$