题目
2-|||-13.已知α= 2 是矩阵A= ) 82-27 -2b=5AP 为对角矩阵.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定特征值
由于 $\alpha = \left [ \begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix} ] \right.$ 是矩阵 $A = \left [ \begin{matrix} 8& 2& -2\\ 2& a& 4\\ -2& b& 5\end{matrix} ] \right.$ 的一个特征向量，我们可以通过计算 $A\alpha$ 来确定特征值 $\lambda$。
$$
A\alpha = \left [ \begin{matrix} 8& 2& -2\\ 2& a& 4\\ -2& b& 5\end{matrix} ] \right. \left [ \begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix} ] \right. = \left [ \begin{matrix} 16 + 4 - 2\\ 4 + 2a + 4\\ -4 + 2b + 5\end{matrix} ] \right. = \left [ \begin{matrix} 18\\ 2a + 8\\ 2b + 1\end{matrix} ] \right.
$$
由于 $\alpha$ 是特征向量，$A\alpha = \lambda \alpha$，因此我们有：
$$
\left [ \begin{matrix} 18\\ 2a + 8\\ 2b + 1\end{matrix} ] \right. = \lambda \left [ \begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix} ] \right.
$$
由此可得：
$$
\left \{ \begin{matrix} 18 = 2\lambda\\ 2a + 8 = 2\lambda\\ 2b + 1 = \lambda\end{matrix} \right.
$$
解得：
$$
\lambda = 9, \quad 2a + 8 = 18, \quad 2b + 1 = 9
$$
从而：
$$
a = 5, \quad b = 4
$$
步骤 2：求正交矩阵P
由于 ${P}^{-1}AP$ 为对角矩阵，我们需要找到矩阵 $A$ 的特征向量并正交化。已知 $\alpha = \left [ \begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix} ] \right.$ 是特征向量，我们还需要找到另外两个线性无关的特征向量。
矩阵 $A$ 的特征多项式为：
$$
\det(A - \lambda I) = \det \left [ \begin{matrix} 8 - \lambda & 2 & -2\\ 2 & 5 - \lambda & 4\\ -2 & 4 & 5 - \lambda\end{matrix} ] \right.
$$
计算特征多项式并求解特征值，然后找到对应的特征向量。假设我们已经找到另外两个特征向量 $\beta$ 和 $\gamma$，我们可以通过施密特正交化方法将它们正交化，得到正交矩阵 $P$。
由于 $\alpha = \left [ \begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix} ] \right.$ 是矩阵 $A = \left [ \begin{matrix} 8& 2& -2\\ 2& a& 4\\ -2& b& 5\end{matrix} ] \right.$ 的一个特征向量，我们可以通过计算 $A\alpha$ 来确定特征值 $\lambda$。
$$
A\alpha = \left [ \begin{matrix} 8& 2& -2\\ 2& a& 4\\ -2& b& 5\end{matrix} ] \right. \left [ \begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix} ] \right. = \left [ \begin{matrix} 16 + 4 - 2\\ 4 + 2a + 4\\ -4 + 2b + 5\end{matrix} ] \right. = \left [ \begin{matrix} 18\\ 2a + 8\\ 2b + 1\end{matrix} ] \right.
$$
由于 $\alpha$ 是特征向量，$A\alpha = \lambda \alpha$，因此我们有：
$$
\left [ \begin{matrix} 18\\ 2a + 8\\ 2b + 1\end{matrix} ] \right. = \lambda \left [ \begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix} ] \right.
$$
由此可得：
$$
\left \{ \begin{matrix} 18 = 2\lambda\\ 2a + 8 = 2\lambda\\ 2b + 1 = \lambda\end{matrix} \right.
$$
解得：
$$
\lambda = 9, \quad 2a + 8 = 18, \quad 2b + 1 = 9
$$
从而：
$$
a = 5, \quad b = 4
$$
步骤 2：求正交矩阵P
由于 ${P}^{-1}AP$ 为对角矩阵，我们需要找到矩阵 $A$ 的特征向量并正交化。已知 $\alpha = \left [ \begin{matrix} 2\\ 2\\ 1\end{matrix} ] \right.$ 是特征向量，我们还需要找到另外两个线性无关的特征向量。
矩阵 $A$ 的特征多项式为：
$$
\det(A - \lambda I) = \det \left [ \begin{matrix} 8 - \lambda & 2 & -2\\ 2 & 5 - \lambda & 4\\ -2 & 4 & 5 - \lambda\end{matrix} ] \right.
$$
计算特征多项式并求解特征值，然后找到对应的特征向量。假设我们已经找到另外两个特征向量 $\beta$ 和 $\gamma$，我们可以通过施密特正交化方法将它们正交化，得到正交矩阵 $P$。