题目
18.设随机变量X的密度函数为-|||-p(x)= {x)^2,0lt xlt 2 0, 的数学期望.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量X的密度函数
给定随机变量X的密度函数为 p(x)= $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {3}{8}{x}^{2},0\lt x\lt 2\\ 0,\end{matrix} \right.$
步骤 2：计算 $\dfrac {1}{{x}^{2}}$ 的数学期望
数学期望的定义为 $E(g(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) p(x) dx$，其中g(X)是关于X的函数。在这个问题中，g(X) = $\dfrac {1}{{x}^{2}}$，因此我们需要计算 $E(\dfrac {1}{{x}^{2}}) = \int_{0}^{2} \dfrac {1}{{x}^{2}} \dfrac {3}{8}{x}^{2} dx$。
步骤 3：执行积分计算
$E(\dfrac {1}{{x}^{2}}) = \int_{0}^{2} \dfrac {1}{{x}^{2}} \dfrac {3}{8}{x}^{2} dx = \int_{0}^{2} \dfrac {3}{8} dx = \dfrac {3}{8} \int_{0}^{2} dx = \dfrac {3}{8} [x]_{0}^{2} = \dfrac {3}{8} (2 - 0) = \dfrac {3}{4}$。
给定随机变量X的密度函数为 p(x)= $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {3}{8}{x}^{2},0\lt x\lt 2\\ 0,\end{matrix} \right.$
步骤 2：计算 $\dfrac {1}{{x}^{2}}$ 的数学期望
数学期望的定义为 $E(g(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) p(x) dx$，其中g(X)是关于X的函数。在这个问题中，g(X) = $\dfrac {1}{{x}^{2}}$，因此我们需要计算 $E(\dfrac {1}{{x}^{2}}) = \int_{0}^{2} \dfrac {1}{{x}^{2}} \dfrac {3}{8}{x}^{2} dx$。
步骤 3：执行积分计算
$E(\dfrac {1}{{x}^{2}}) = \int_{0}^{2} \dfrac {1}{{x}^{2}} \dfrac {3}{8}{x}^{2} dx = \int_{0}^{2} \dfrac {3}{8} dx = \dfrac {3}{8} \int_{0}^{2} dx = \dfrac {3}{8} [x]_{0}^{2} = \dfrac {3}{8} (2 - 0) = \dfrac {3}{4}$。