设 A 为 n 阶矩阵，且 |A|=2 ，则 ||A|AT|=() A. 2n B. 2n−1 C. 2n+1 D. 4

考查要点：本题主要考查行列式的两个基本性质：

1. 矩阵的转置行列式等于原矩阵的行列式，即 $|A^T| = |A|$；
2. 标量乘法对行列式的影响，即 $|kA| = k^n |A|$，其中 $k$ 是标量，$n$ 是矩阵的阶数。

解题核心思路：
将题目中的表达式 $||A|A^T|$ 分解为两步处理：

1. 计算标量 $|A|$ 与矩阵 $A^T$ 的乘积矩阵；
2. 应用行列式的性质逐步展开计算。

破题关键点：

• 明确运算顺序：先计算 $|A|$（标量），再将其与 $A^T$ 相乘，最后求行列式；
• 正确应用行列式的标量乘法性质和转置性质。

根据题意，$A$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $|A| = 2$，求 $||A|A^T|$。

步骤 1：应用标量乘法性质

将 $|A|A^T$ 看作标量 $|A|$ 乘以矩阵 $A^T$，根据行列式的性质：
$\begin{aligned}||A|A^T| &= |A|^n \cdot |A^T| \quad \text{（标量乘法性质）} \\\end{aligned}$

步骤 2：应用转置行列式性质

由 $|A^T| = |A|$，代入上式：
$\begin{aligned}||A|A^T| &= |A|^n \cdot |A| \\&= |A|^{n+1} \\&= 2^{n+1} \quad \text{（已知 $|A|=2$）}\end{aligned}$

结论：最终结果为 $2^{n+1}$，对应选项 C。