题目
求微分方程y" -4y'+3y=0的通解。
求微分方程y"
的通解。
的通解。
题目解答
答案
解特征方程
得
,3
所以通解为
得
,3
所以通解为
解析
步骤 1：求解特征方程
微分方程 $y'' - 4y' + 3y = 0$ 是一个二阶常系数齐次线性微分方程。其对应的特征方程为 ${p}^{2} - 4p + 3 = 0$。我们首先求解这个二次方程。
步骤 2：求解特征方程的根
解方程 ${p}^{2} - 4p + 3 = 0$，可以使用求根公式 $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 1$，$b = -4$，$c = 3$。代入得 $p = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$，从而得到 $p = 1$ 或 $p = 3$。
步骤 3：写出通解
根据特征方程的根，微分方程的通解形式为 $y = C_1e^{p_1x} + C_2e^{p_2x}$，其中 $p_1$ 和 $p_2$ 是特征方程的根。因此，通解为 $y = C_1e^{x} + C_2e^{3x}$。
微分方程 $y'' - 4y' + 3y = 0$ 是一个二阶常系数齐次线性微分方程。其对应的特征方程为 ${p}^{2} - 4p + 3 = 0$。我们首先求解这个二次方程。
步骤 2：求解特征方程的根
解方程 ${p}^{2} - 4p + 3 = 0$，可以使用求根公式 $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 1$，$b = -4$，$c = 3$。代入得 $p = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$，从而得到 $p = 1$ 或 $p = 3$。
步骤 3：写出通解
根据特征方程的根，微分方程的通解形式为 $y = C_1e^{p_1x} + C_2e^{p_2x}$，其中 $p_1$ 和 $p_2$ 是特征方程的根。因此，通解为 $y = C_1e^{x} + C_2e^{3x}$。