题目
设随机变量(X，Y)的概率密度为f(x,y)= (x+y){e)^-(x+y),xgt 0,ygt 0 0, .(1)问X和Y是否相互独立? (2)求Z=X+Y的概率密度
设随机变量(X，Y)的概率密度为
(1)问X和Y是否相互独立?
(2)求Z=X+Y的概率密度
题目解答
答案
同理，Y的概率密度为
由于f(x，y)≠fX(x)fY(y)，故X与Y不相互独立．
解析
步骤 1：计算X的概率密度函数
为了判断X和Y是否相互独立，我们首先需要计算X的概率密度函数${f}_{x}(x)$。根据概率密度函数的定义，${f}_{x}(x)$可以通过对联合概率密度函数$f(x,y)$在y上积分得到。
${f}_{x}(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy={\int }_{0}^{\infty }\dfrac {1}{2}(x+y){e}^{-(x+y)}dy$
步骤 2：计算Y的概率密度函数
同样地，我们计算Y的概率密度函数${f}_{y}(y)$。根据概率密度函数的定义，${f}_{y}(y)$可以通过对联合概率密度函数$f(x,y)$在x上积分得到。
${f}_{y}(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx={\int }_{0}^{\infty }\dfrac {1}{2}(x+y){e}^{-(x+y)}dx$
步骤 3：判断X和Y是否相互独立
如果X和Y相互独立，那么联合概率密度函数$f(x,y)$应该等于${f}_{x}(x)$和${f}_{y}(y)$的乘积。我们可以通过比较$f(x,y)$和${f}_{x}(x){f}_{y}(y)$来判断X和Y是否相互独立。
步骤 4：计算Z=X+Y的概率密度函数
为了计算Z=X+Y的概率密度函数${f}_{z}(z)$，我们使用卷积公式。根据卷积公式，${f}_{z}(z)$可以通过对${f}_{x}(x)$和${f}_{y}(y)$的卷积得到。
${f}_{z}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{x}(x){f}_{y}(z-x)dx$
为了判断X和Y是否相互独立，我们首先需要计算X的概率密度函数${f}_{x}(x)$。根据概率密度函数的定义，${f}_{x}(x)$可以通过对联合概率密度函数$f(x,y)$在y上积分得到。
${f}_{x}(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy={\int }_{0}^{\infty }\dfrac {1}{2}(x+y){e}^{-(x+y)}dy$
步骤 2：计算Y的概率密度函数
同样地，我们计算Y的概率密度函数${f}_{y}(y)$。根据概率密度函数的定义，${f}_{y}(y)$可以通过对联合概率密度函数$f(x,y)$在x上积分得到。
${f}_{y}(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx={\int }_{0}^{\infty }\dfrac {1}{2}(x+y){e}^{-(x+y)}dx$
步骤 3：判断X和Y是否相互独立
如果X和Y相互独立，那么联合概率密度函数$f(x,y)$应该等于${f}_{x}(x)$和${f}_{y}(y)$的乘积。我们可以通过比较$f(x,y)$和${f}_{x}(x){f}_{y}(y)$来判断X和Y是否相互独立。
步骤 4：计算Z=X+Y的概率密度函数
为了计算Z=X+Y的概率密度函数${f}_{z}(z)$，我们使用卷积公式。根据卷积公式，${f}_{z}(z)$可以通过对${f}_{x}(x)$和${f}_{y}(y)$的卷积得到。
${f}_{z}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{x}(x){f}_{y}(z-x)dx$