题目
级数 sin dfrac (pi )(2)+sin dfrac (2pi )(2)+... +sin dfrac (npi )(2)+... （ ）A 、是收敛的 ; B 、是收敛的，其和为sin dfrac (pi )(2)+sin dfrac (2pi )(2)+... +sin dfrac (npi )(2)+... ; C、 是发散的 ; D 、不一定发散
级数 
（ ）
A 、是收敛的 ;
B 、是收敛的，其和为
;
C、 是发散的 ;
D 、不一定发散
题目解答
答案
级数
即
由于到
根据级数收敛的必要条件是通项趋于
，
故级数
是发散的 ;
故选C。
解析
步骤 1：分析通项
级数的通项为 $\sin \dfrac {n\pi }{2}$，其中 $n$ 为正整数。观察通项的取值规律，可以发现：
- 当 $n=1$ 时，$\sin \dfrac {\pi }{2} = 1$
- 当 $n=2$ 时，$\sin \dfrac {2\pi }{2} = \sin \pi = 0$
- 当 $n=3$ 时，$\sin \dfrac {3\pi }{2} = -1$
- 当 $n=4$ 时，$\sin \dfrac {4\pi }{2} = \sin 2\pi = 0$
- 当 $n=5$ 时，$\sin \dfrac {5\pi }{2} = 1$
- 以此类推，通项的值在 $1, 0, -1, 0$ 之间循环。
步骤 2：判断通项的极限
根据通项的取值规律，可以发现通项 $\sin \dfrac {n\pi }{2}$ 的值在 $1, 0, -1, 0$ 之间循环，因此通项的极限不存在，即 $\lim _{n\rightarrow \infty }\sin \dfrac {n\pi }{2}$ 不存在。
步骤 3：应用级数收敛的必要条件
根据级数收敛的必要条件，如果级数 $\sum _{n=1}^{\infty }a_n$ 收敛，则其通项 $a_n$ 必须满足 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_n = 0$。由于通项 $\sin \dfrac {n\pi }{2}$ 的极限不存在，因此级数 $\sin \dfrac {\pi }{2}+\sin \dfrac {2\pi }{2}+\cdots +\sin \dfrac {n\pi }{2}+\cdots $ 不满足收敛的必要条件，故该级数是发散的。
级数的通项为 $\sin \dfrac {n\pi }{2}$，其中 $n$ 为正整数。观察通项的取值规律，可以发现：
- 当 $n=1$ 时，$\sin \dfrac {\pi }{2} = 1$
- 当 $n=2$ 时，$\sin \dfrac {2\pi }{2} = \sin \pi = 0$
- 当 $n=3$ 时，$\sin \dfrac {3\pi }{2} = -1$
- 当 $n=4$ 时，$\sin \dfrac {4\pi }{2} = \sin 2\pi = 0$
- 当 $n=5$ 时，$\sin \dfrac {5\pi }{2} = 1$
- 以此类推，通项的值在 $1, 0, -1, 0$ 之间循环。
步骤 2：判断通项的极限
根据通项的取值规律，可以发现通项 $\sin \dfrac {n\pi }{2}$ 的值在 $1, 0, -1, 0$ 之间循环，因此通项的极限不存在，即 $\lim _{n\rightarrow \infty }\sin \dfrac {n\pi }{2}$ 不存在。
步骤 3：应用级数收敛的必要条件
根据级数收敛的必要条件，如果级数 $\sum _{n=1}^{\infty }a_n$ 收敛，则其通项 $a_n$ 必须满足 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_n = 0$。由于通项 $\sin \dfrac {n\pi }{2}$ 的极限不存在，因此级数 $\sin \dfrac {\pi }{2}+\sin \dfrac {2\pi }{2}+\cdots +\sin \dfrac {n\pi }{2}+\cdots $ 不满足收敛的必要条件，故该级数是发散的。