题目
求平面2x-2y+ z + 5 = 0与xoy面的夹角余弦。
求平面2x-2y+ z + 5 = 0与xoy面的夹角余弦。
题目解答
答案
解:〃 =(2,-2,1)为此平面的法向量,设此平面与初y的夹角为八贝IJ⏺n-k _(2,-2,1)•(0,0,1) _1cos y — = =—\n\'\k\ 3 3
解析
步骤 1：确定平面的法向量
平面方程为2x - 2y + z + 5 = 0，其法向量为n = (2, -2, 1)。
步骤 2：确定xoy面的法向量
xoy面的法向量为k = (0, 0, 1)。
步骤 3：计算两个法向量的点积
n • k = (2, -2, 1) • (0, 0, 1) = 2*0 + (-2)*0 + 1*1 = 1。
步骤 4：计算两个法向量的模
|n| = √(2^2 + (-2)^2 + 1^2) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3。
|k| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = √1 = 1。
步骤 5：计算夹角余弦
cos θ = (n • k) / (|n| * |k|) = 1 / (3 * 1) = 1/3。
平面方程为2x - 2y + z + 5 = 0，其法向量为n = (2, -2, 1)。
步骤 2：确定xoy面的法向量
xoy面的法向量为k = (0, 0, 1)。
步骤 3：计算两个法向量的点积
n • k = (2, -2, 1) • (0, 0, 1) = 2*0 + (-2)*0 + 1*1 = 1。
步骤 4：计算两个法向量的模
|n| = √(2^2 + (-2)^2 + 1^2) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3。
|k| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = √1 = 1。
步骤 5：计算夹角余弦
cos θ = (n • k) / (|n| * |k|) = 1 / (3 * 1) = 1/3。