题目
2.3 确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数:-|||-(1) dfrac (1)({z)^2-1} ;-|||-(2) dfrac (az+b)(cz+d) (c,d至少有一不为零).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的解析区域和奇点
对于函数 $\dfrac {1}{{z}^{2}-1}$，解析区域是除去奇点的复平面。奇点是使分母为零的点，即 ${z}^{2}-1=0$，解得 $z=\pm 1$。因此，函数在复平面上除去 $z=\pm 1$ 的区域解析，$z=\pm 1$ 为奇点。
对于函数 $\dfrac {az+b}{cz+d}$，解析区域是除去奇点的复平面。奇点是使分母为零的点，即 $cz+d=0$，解得 $z=-\dfrac {d}{c}$（假设 $c\neq 0$）。因此，函数在复平面上除去 $z=-\dfrac {d}{c}$ 的区域解析，$z=-\dfrac {d}{c}$ 为奇点。
步骤 2：求导数
对于函数 $\dfrac {1}{{z}^{2}-1}$，使用商的导数公式，得到 $f'(z)=-\dfrac {2z}{{({z}^{2}-1)}^{2}}$。
对于函数 $\dfrac {az+b}{cz+d}$，使用商的导数公式，得到 $f'(z)=\dfrac {ad-bc}{{(cz+d)}^{2}}$。
对于函数 $\dfrac {1}{{z}^{2}-1}$，解析区域是除去奇点的复平面。奇点是使分母为零的点，即 ${z}^{2}-1=0$，解得 $z=\pm 1$。因此，函数在复平面上除去 $z=\pm 1$ 的区域解析，$z=\pm 1$ 为奇点。
对于函数 $\dfrac {az+b}{cz+d}$，解析区域是除去奇点的复平面。奇点是使分母为零的点，即 $cz+d=0$，解得 $z=-\dfrac {d}{c}$（假设 $c\neq 0$）。因此，函数在复平面上除去 $z=-\dfrac {d}{c}$ 的区域解析，$z=-\dfrac {d}{c}$ 为奇点。
步骤 2：求导数
对于函数 $\dfrac {1}{{z}^{2}-1}$，使用商的导数公式，得到 $f'(z)=-\dfrac {2z}{{({z}^{2}-1)}^{2}}$。
对于函数 $\dfrac {az+b}{cz+d}$，使用商的导数公式，得到 $f'(z)=\dfrac {ad-bc}{{(cz+d)}^{2}}$。