求lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2+x}-x)

步骤 1：有理化分子
为了消除根号，我们可以通过有理化分子来简化表达式。为此，我们将分子和分母同时乘以$\sqrt{x^2 + x} + x$，这样可以利用差的平方公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$来消除根号。
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }(\sqrt {{x}^{2}+x}-x)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {(\sqrt {{x}^{2}+x}-x)(\sqrt {{x}^{2}+x}+x)}{\sqrt {{x}^{2}+x}+x}$$
步骤 2：简化表达式
利用差的平方公式，分子变为$(x^2 + x) - x^2$，即$x$。因此，原表达式简化为：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {x}{\sqrt {{x}^{2}+x}+x}$$
步骤 3：提取$x$的最高次幂
为了进一步简化表达式，我们提取分母中的$x$的最高次幂，即$x$，这样可以将$x$提取出来，方便计算极限。
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {x}{x(\sqrt {1+\frac{1}{x}}+1)}$$
步骤 4：计算极限
由于$x$在分子和分母中都存在，可以约去，然后计算极限。
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{\sqrt {1+\frac{1}{x}}+1}$$
当$x$趋向于正无穷时，$\frac{1}{x}$趋向于0，因此：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{\sqrt {1+0}+1}=\dfrac {1}{2}$$