求lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2+x}-x)

考查要点：本题主要考查无穷小量的运算技巧，特别是处理形如$\infty - \infty$型极限的方法。核心思路是通过有理化消除根号，将表达式转化为可求极限的分式形式。

破题关键：

1. 有理化：将原式乘以共轭表达式$\sqrt{x^2 + x} + x$，分子分母同乘，消除根号。
2. 化简分式：通过分子分母同除以$x$，将表达式转化为关于$\frac{1}{x}$的函数，便于代入极限。
3. 代入极限：利用$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$简化表达式，最终求得结果。

步骤1：有理化处理
原式为$\sqrt{x^2 + x} - x$，分子分母同乘以共轭表达式$\sqrt{x^2 + x} + x$：
$\begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) &= \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} - x)(\sqrt{x^2 + x} + x)}{\sqrt{x^2 + x} + x} \\&= \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} \\&= \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}.\end{aligned}$

步骤2：化简分式
将分母中的$\sqrt{x^2 + x}$提取$x$，并分子分母同除以$x$：
$\begin{aligned}\frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} &= \frac{x}{x \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + x} \\&= \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}.\end{aligned}$

步骤3：代入极限
当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，因此：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}.$