题目
求int xsqrt (x-1)dx.
求
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题目解答
答案
解:设
,则
,
,
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,则
,
,
.
解析
步骤 1：换元
设 $u=\sqrt{x-1}$，则 $x=u^2+1$，从而 $dx=2udu$。
步骤 2：代入
将 $x$ 和 $dx$ 的表达式代入原积分，得到 $\int (u^2+1)u \cdot 2udu$。
步骤 3：化简
化简得到 $\int (2u^4+2u^2)du$。
步骤 4：积分
对上式进行积分，得到 $\dfrac{2}{5}u^5+\dfrac{2}{3}u^3+C$。
步骤 5：回代
将 $u=\sqrt{x-1}$ 代回，得到 $\dfrac{2}{5}(x-1)^{5/2}+\dfrac{2}{3}(x-1)^{3/2}+C$。
设 $u=\sqrt{x-1}$，则 $x=u^2+1$，从而 $dx=2udu$。
步骤 2：代入
将 $x$ 和 $dx$ 的表达式代入原积分，得到 $\int (u^2+1)u \cdot 2udu$。
步骤 3：化简
化简得到 $\int (2u^4+2u^2)du$。
步骤 4：积分
对上式进行积分，得到 $\dfrac{2}{5}u^5+\dfrac{2}{3}u^3+C$。
步骤 5：回代
将 $u=\sqrt{x-1}$ 代回，得到 $\dfrac{2}{5}(x-1)^{5/2}+\dfrac{2}{3}(x-1)^{3/2}+C$。