题目
1.沿下列路径计算积分 (int )_(0)^3+i(z)^2dz:-|||-(1)自原点至 3+i 的直线段;-|||-(2)自原点沿实轴至3,再由3沿铅直方向向上至 3+i;-|||-(3)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至 +i.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算积分 $\int_{0}^{3+i} z^2 dz$ 沿直线段
设直线段的参数方程为 $z(t) = t(3+i)$, 其中 $t \in [0,1]$. 则 $dz = (3+i)dt$.
代入积分，得 $\int_{0}^{3+i} z^2 dz = \int_{0}^{1} (t(3+i))^2 (3+i)dt = \int_{0}^{1} t^2 (3+i)^3 dt$.
计算积分，得 $\int_{0}^{1} t^2 (3+i)^3 dt = \frac{1}{3} (3+i)^3$.
步骤 2：计算积分 $\int_{0}^{3+i} z^2 dz$ 沿实轴至3,再由3沿铅直方向向上至 3+i
设路径为 $z(t) = t$ (t从0到3), $z(t) = 3 + it$ (t从0到1).
则 $dz = dt$ 和 $dz = idt$.
代入积分，得 $\int_{0}^{3+i} z^2 dz = \int_{0}^{3} t^2 dt + \int_{0}^{1} (3+it)^2 idt$.
计算积分，得 $\int_{0}^{3} t^2 dt = \frac{1}{3} 3^3$ 和 $\int_{0}^{1} (3+it)^2 idt = \frac{1}{3} (3+i)^3$.
步骤 3：计算积分 $\int_{0}^{3+i} z^2 dz$ 沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至 3+i
设路径为 $z(t) = it$ (t从0到1), $z(t) = i + t(3-i)$ (t从0到1).
则 $dz = idt$ 和 $dz = (3-i)dt$.
代入积分，得 $\int_{0}^{3+i} z^2 dz = \int_{0}^{1} (it)^2 idt + \int_{0}^{1} (i + t(3-i))^2 (3-i)dt$.
计算积分，得 $\int_{0}^{1} (it)^2 idt = \frac{1}{3} i^3$ 和 $\int_{0}^{1} (i + t(3-i))^2 (3-i)dt = \frac{1}{3} (3+i)^3$.
设直线段的参数方程为 $z(t) = t(3+i)$, 其中 $t \in [0,1]$. 则 $dz = (3+i)dt$.
代入积分，得 $\int_{0}^{3+i} z^2 dz = \int_{0}^{1} (t(3+i))^2 (3+i)dt = \int_{0}^{1} t^2 (3+i)^3 dt$.
计算积分，得 $\int_{0}^{1} t^2 (3+i)^3 dt = \frac{1}{3} (3+i)^3$.
步骤 2：计算积分 $\int_{0}^{3+i} z^2 dz$ 沿实轴至3,再由3沿铅直方向向上至 3+i
设路径为 $z(t) = t$ (t从0到3), $z(t) = 3 + it$ (t从0到1).
则 $dz = dt$ 和 $dz = idt$.
代入积分，得 $\int_{0}^{3+i} z^2 dz = \int_{0}^{3} t^2 dt + \int_{0}^{1} (3+it)^2 idt$.
计算积分，得 $\int_{0}^{3} t^2 dt = \frac{1}{3} 3^3$ 和 $\int_{0}^{1} (3+it)^2 idt = \frac{1}{3} (3+i)^3$.
步骤 3：计算积分 $\int_{0}^{3+i} z^2 dz$ 沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至 3+i
设路径为 $z(t) = it$ (t从0到1), $z(t) = i + t(3-i)$ (t从0到1).
则 $dz = idt$ 和 $dz = (3-i)dt$.
代入积分，得 $\int_{0}^{3+i} z^2 dz = \int_{0}^{1} (it)^2 idt + \int_{0}^{1} (i + t(3-i))^2 (3-i)dt$.
计算积分，得 $\int_{0}^{1} (it)^2 idt = \frac{1}{3} i^3$ 和 $\int_{0}^{1} (i + t(3-i))^2 (3-i)dt = \frac{1}{3} (3+i)^3$.