A9.1.10设 (x,y)=(x)^2+(y)^2+sin xy, 在点(1,1)处求d f.

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}+\sin xy$ 在点 (1,1) 处的偏导数。偏导数分别对 x 和 y 求导。
- 对于 $f_x(x,y)$，我们有 $f_x(x,y) = 2x + y\cos xy$。
- 对于 $f_y(x,y)$，我们有 $f_y(x,y) = 2y + x\cos xy$。

步骤 2：计算偏导数值
接下来，我们计算偏导数在点 (1,1) 处的值。
- $f_x(1,1) = 2(1) + (1)\cos(1\cdot1) = 2 + \cos 1$。
- $f_y(1,1) = 2(1) + (1)\cos(1\cdot1) = 2 + \cos 1$。

步骤 3：计算全微分
最后，我们使用偏导数的值来计算全微分 $df$。
- $df = f_x(1,1)dx + f_y(1,1)dy = (2 + \cos 1)dx + (2 + \cos 1)dy$。
- 因此，$df = (2 + \cos 1)(dx + dy)$。