2.证明：方程^5-3x=1至少有一个根介于1和2之间

考查要点：本题主要考查零点存在定理（介值定理的推论）的应用，通过验证函数在区间端点的符号变化，证明方程在该区间内至少存在一个根。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为$f(x) = x^5 - 3x - 1$的形式。
2. 计算端点函数值：验证$f(1)$和$f(2)$的符号是否相反。
3. 验证连续性：确认$f(x)$在区间$[1, 2]$上连续。
4. 应用定理：根据零点存在定理，直接得出结论。

破题关键点：

• 正确构造函数是基础，需将方程整理为$f(x) = 0$的形式。
• 准确计算端点值是关键，需确保$f(1) < 0$且$f(2) > 0$。
• 明确定理条件：函数连续性是定理应用的前提。

步骤1：构造函数
将方程$x^5 - 3x = 1$改写为$f(x) = x^5 - 3x - 1$，需证明$f(x) = 0$在区间$(1, 2)$内有解。

步骤2：计算端点函数值

• 当$x = 1$时：
  $f(1) = 1^5 - 3 \cdot 1 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 < 0$
• 当$x = 2$时：
  $f(2) = 2^5 - 3 \cdot 2 - 1 = 32 - 6 - 1 = 25 > 0$

步骤3：验证连续性
$f(x)$是多项式函数，在区间$[1, 2]$上连续。

步骤4：应用零点存在定理
根据定理，若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则存在$\xi \in (a, b)$使得$f(\xi) = 0$。
本题中，$f(1) < 0$且$f(2) > 0$，满足定理条件，因此在$(1, 2)$内至少存在一个根。