x y X+y(4)y x+y xX+y x y

步骤 1：确定行列式
给定的行列式为：
$$
\begin{vmatrix}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{vmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
根据行列式的定义，计算行列式的值。行列式的值可以通过展开第一行来计算：
$$
\begin{vmatrix}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{vmatrix} = x \begin{vmatrix}
x+y & x \\
x & y
\end{vmatrix} - y \begin{vmatrix}
y & x \\
x+y & y
\end{vmatrix} + (x+y) \begin{vmatrix}
y & x+y \\
x+y & x
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：计算2x2行列式
计算每个2x2行列式的值：
$$
\begin{vmatrix}
x+y & x \\
x & y
\end{vmatrix} = (x+y)y - x^2 = xy + y^2 - x^2
$$
$$
\begin{vmatrix}
y & x \\
x+y & y
\end{vmatrix} = y^2 - x(x+y) = y^2 - x^2 - xy
$$
$$
\begin{vmatrix}
y & x+y \\
x+y & x
\end{vmatrix} = yx - (x+y)^2 = yx - x^2 - 2xy - y^2 = -x^2 - xy - y^2
$$
步骤 4：代入并简化
将上述结果代入原行列式中：
$$
x(xy + y^2 - x^2) - y(y^2 - x^2 - xy) + (x+y)(-x^2 - xy - y^2)
$$
$$
= x^2y + xy^2 - x^3 - y^3 + xy^2 + x^2y - x^3 - xy^2 - y^3 - x^2y - xy^2 - y^3
$$
$$
= -2(x^3 + y^3)
$$